Enunciado

Uma massa pesando 32 libras distende uma mola em 6 polegadas. A massa move-se em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a β vezes a velocidade instantânea. Determine os valores de β para os quais o sistema massa-mola exibe um movimento oscilatório.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

32 = 6 k → k = 32 6 l i b r a s p o l e g a d a s

Logo nossa EDO é:

x ' ' + β m   x ' + k m x = 0

Chamemos β m = α ;   k m =   ω 0 2

x ' ' + α x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Façamos x = e λ t ;       x ' = λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + α λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + α λ + ω 0 2 = 0

λ = - α 2 ± α 2 2 - ω 0 2

Passo 3

Lembrando α = β m

λ = - β 2 m ± β 2 m 2 - ω 0 2

Lembrando que ω 0 2 = k m = 32 6 32 = 1 6 e também que m = 32

λ = - β 64 ± β 64 2 - 1 6

Para haver movimentos oscilatórios em movimentos amortecidos, impomos que o amortecimento seja de tipo subamortecido, assim β 64 2 < 1 6

Logo:

β 2 < 64 2 6

β < 64 6

Ou também temos a possibilidade não haver amortecido, se tornando um movimento harmônico simples, ou seja, β = 0  

Resposta

β < 64 2

Ou

β = 0

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