Enunciado

Uma massa pesando 64 libras presa a uma extremidade da mola distende-a em 0,32 pé. A massa é inicialmente solta de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 5 p é s para baixo.

  1. Determine a equação do movimento
  2. Qual é a amplitude e o período do movimento?
  3. Quantos ciclos completos a massa concluirá após 3 π   s ?
  4. Em que instante a massa passará pela posição e equilíbrio, dirigindo-se para baixo pela segunda vez?
  5. Em que instante a massa atingirá seu deslocamento externo em cada lado da posição de equilíbrio?
  6. Qual é a posição da massa em t = 3   s ?
  7. Qual é a velocidade instantânea em t = 3   s ?
  8. Qual é a aceleração em   t = 3   s ?
  9. Qual é a velocidade instantânea no instante em que q massa passa pelo ponto de equilíbrio?
  10. Em que instante a massa está 5 polegadas abaixo da posição de equilíbrio/
  11. Em que eixo a massa está 5 polegadas abaixo da posição de equilíbrio e esse dirige para cima?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Questão grandinha, né? Mas vamos acabar com ela... chega junto!

Sabemos que:

64 = 0,32 k → k = 200 l i b r a s p é

Assim podemos construir a nossa EDO:

x ' ' + 200 64 x = 0

Façamos ω 1 2 = 200 64

Ficando:

x ' ' + ω 1 2 x = 0       ( 0.1 )

Passo 2

Fazendo x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 1 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω 1                   ( 0.3 )

Logo:

x 1 ª t = c 1 e + i ω 1 t + c 2 e - i ω 1 t                             ( 0.4 )

x 1 ª t = c 1 cos ⁡ ω 1 t + i s e n ω 1 t + c 2 cos ⁡ ω 1 t - i s e n ω 1 t                     ( 0.5 )

x 1 ª t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω 1 t + c 1 - c 2 i   s e n ω 1 t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x 1 ª t = a 1 cos ⁡ ω 1 t + b 1 s e n ω 1 t                     ( 0.7 )

Passo 3

Para achar os valores de a 1,2   e   b 1,2 , precisamos de informações, como neste caso as condições iniciais. Veja:

Temos que:

  1. É solto de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 8
  2. É solto com velocidade 5 m s para baixo, logo x ' 0 = 5

Assim:

x 0 = 8 = a

x ' 0 = 5 = b 1 ω 1

Logo:

x t = 8 cos ⁡ ω 1 t + 5 ω 1 s e n ( ω 1 t )

Que é igual a:

x t = 89   s e n ω 1 t + 1.01

Relembrando ω 1 = 200 64 = 5 4 2

x t = 89   s e n ( 5 4 2   t + 1.01 )

Resposta

x t = 89   s e n ( 5 4 2   t + 1.01 )

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