Enunciado

Uma massa pesando 4 libras distende uma mola em 18 polegadas. Uma força periódica igual a f t = cos ⁡ γ t + s e n γ t   é aplicado ao sistema, começando em t = 0 . Na ausência de uma força de amortecimento, para que valores de γ o sistema estará em um estado de ressonância pura?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

4 = k   18 → k = 2 9 l i b r a s p o l e g a d a s

E a nossa EDO:

x ' ' + 2 9   x = cos ⁡ γ t + s e n γ t 18

Façamos 2 9 = ω 0 2

x ' ' + ω 0 2 x = cos ⁡ γ t + s e n γ t 18

Passo 2

A equação acima pode ser escrita como:

x ' ' + ω 0 2 x = 2 18   s e n ( γ t + 0,785 )

Façamos 2 18 = F 0

x ' ' + ω 0 2   x = F 0   s e n ( γ t + 0,785 )

Passo 3

A ressonância pura acontece na solução particular. Logo:

x ' ' + ω 0 2   x = F 0   s e n ( γ t + 0,785 )

Sabemos que em um espaço vetorial de dimensão 2, existem infinitos vetores linearmente independentes, assim criemos uma função y   participante do mesmo espaço vetorial. Então

y ' ' + ω 0 2 y = F 0 c o s ⁡ ( γ t + 0,785 )

E façamos então uma função z = y + i x

z ' ' + ω 0 2 z = F 0 e γ t + 0,785

Seja z = C   e γ t + 0,785 ;     z ' ' = C γ 2 e γ t + 0,785

Logo:

C e γ t + 0,785 γ 2 + ω 0 2 = F 0   e γ t + 0,785

C = F 0 γ 2 - ω 0 2

Onde C é a amplitude. Haverá ressonância y 2 → ω 2

Ou seja (lembrando ω 2 = 2 / 9 )

lim γ 2 →   ω 0 2 ⁡ 2 18 γ 2 - ω 2

Resposta

lim γ 2 →   ω 0 2 ⁡ 2 18 γ 2 - ω 2