Enunciado

Uma massa pesando 4 libras é presa a uma mola cuja constante é 2 l i b r a s p é s . O meio oferece uma força de amortecimento ao peso que é numericamente igual a velocidade instantânea. A massa é inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de   8   p é s s para baixo. Determine o tempo no qual a massa passará pela posição de equilíbrio. Ache o tempo no qual a massa atinge se deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição de da massa nesse instante?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos a seguinte EDO:

x ' ' + 1 4   x ' + 2 4 x = 0

Chamemos 1 4 = β ;   2 4 = ω 0 2

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Fazendo x = e λ t ;     λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Assim:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando 1 4 = β ;   2 4 = ω 0 2 ,

Logo vemos que:

β 2 2 - ω 0 2 < 0 ,

Então: λ ∈ C

Logo:

λ = - β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Chamemos ω 0 2 - β 2 2 = ω

λ = - β 2 ± i ω

Portanto:

x t = c 1 e t -   β 2 + i ω + c 2 e - t β 2 + i ω

x h t = e - β t 2 c 1 e i   ω t + c 2 e - i   ω t

x h t = e - β t 2 c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t

x h t = e β t 2 c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2 .

x h t = e β t 2 ( a cos ⁡ ω t + b   s e n ( ω t ) )  

Para: a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t ,     encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 1
  2. É também dito que a massa é solta com uma velocidade 8 p é s s para baixo, logo x ' 0 = 8

Assim:

x 0 = - 1 = a

x ' 0 = 8 = b ω → b = 8 ω

Passo 3

Portanto:

x t = e - β t 2 - cos ⁡ ω t + 8 ω   s e n ω t

Relembrando: 1 4 = β ;   2 4 = ω 0 2 , e ω = ω 0 2 - β 2 2

x t = e - t 8 - cos ⁡ 3 1 8   t + 64 31   s e n 31 8   t

Que pode ser rescrita como:

x t = 4.127 31     e - t 8   s e n 31 8   t - 0,0867

Resposta

  1. A massa passará pelo ponto de equilíbrio quando x t = 0 . Que acontecerá quando s e n 31 8   t - 0,0867 = 0
  2. Logo:

    s e n 31 8   t - 0,0867 = 0

    31 8   t - 0,0867 = 0

    31 8 t = 0,0867

    t =   8 × 0,0867 31 + n π ;       n ∈ Z .

  3. Será máximo quando:
  4. s e n 31 8   t - 0,0867 = 1

    31 8   t - 0,0867 = s e n - 1 1

    31 8   t = s e n - 1 1 + 0,0867

    t = 8 31 s e n - 1 1 + 0,0867  

  5. E quando t for esse valor:

x m á x = 4.127 31     e -   s e n - 1 1 + 0,0876 31

x m á x = 8,567   p é s  

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