Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação - Capítulo 5.1 - Ex. 21
Uma massa pesando 4 libras é presa a uma mola cuja constante é . O meio oferece uma força de amortecimento ao peso que é numericamente igual a velocidade instantânea. A massa é inicialmente solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade de para baixo. Determine o tempo no qual a massa passará pela posição de equilíbrio. Ache o tempo no qual a massa atinge se deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição de da massa nesse instante?
Passo 1
Faaaala, cara! Tranquileba?
Temos a seguinte EDO:
Chamemos
Passo 2
Fazendo
Assim:
Lembrando ,
Logo vemos que:
Então:
Logo:
Chamemos
Portanto:
Fazendo
Para: encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:
- É dito que a massa é solta de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio, logo
- É também dito que a massa é solta com uma velocidade para baixo, logo
Assim:
Passo 3
Portanto:
Relembrando: , e
Que pode ser rescrita como:
Resposta
- A massa passará pelo ponto de equilíbrio quando Que acontecerá quando
- Será máximo quando:
- E quando t for esse valor:
Logo:
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