Responde Aí

Enunciado

Uma massa pesando 8 libras é presa a uma mola. Quando em movimento o sistema massa-mola exibe um movimento harmônico simples.

  1. Determina equação do movimento se a constante da mola for de 1 l i b r a p é e a massa for incialmente solta de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 2 p é s para baixo.
  2. Expresse a equação de movimento de movimento na forma dada em (6)
  3. Expresse a equação de movimento de movimento na forma dada em (6’)

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos então que a EDO que rege esse sistema é:

x ' ' + 1 8 x = 0

Fazendo ω 0 2 = 1 8

x ' ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Façamos x = e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 0 2 = 0

λ = ± i ω 0

Logo:

x h t = c 1 e i ω 0 t + c 2 e - i ω 0 t

x h t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + i s e n ω 0 t + c 2 cos ⁡ ω 0 t - i s e n ω 0 t

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω 0 t + i c 1 - c 2 s e n ω 0 t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2

x h t = a cos ⁡ ω 0 t + b   s e n ω 0 t

Passo 3

Para achar os valores e A e B usemos as condições:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, logo   x 0 = 6
  2. Também que parte com uma velocidade 3 2 p é s para baixo, logo x ' 0 = 3 2

Assim:

x 0 = 6 = a

x ' 0 = 3 2 = b ω 0 → b = 3 2 ω 0

Resposta

Logo:

x t = 6 cos ⁡ ω 0 t + 3 2 ω 0 s e n ( ω 0 t )

Lembrando ω 0 = 1 8

x t = 6 cos ⁡ 1 8 t + 3 2   8   s e n 1 8   t