Enunciado

Uma massa m é presa a uma mola cuja constante de elasticidade é k . Depois que a massa atinge a posição de equilíbrio, seu suporte começa a oscilar verticalmente me relação a uma linha horizontal L de acordo com uma formula h ( t ) . valor de h representa a distancia em pés medida a começar de L. Veja a figura

  1. Qual é equação diferencial se todo o sistema move-se através de um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a β d x d t ?
  2. Resolva equação diferencial do item a) admitindo que a mola é distendida em 4 pés por uma massa pesando 16 libras e β = 2 ,   h t = 5 cos ⁡ t ,   x 0 = x ' 0 = 0 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos a seguinte EDO:

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = h t

A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular x h t e solução homogênea x h t . Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( x h t ) e solução estacionária ( x p ( t ) )

Passo 2

Para x h :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Fazendo x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Ficando:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β ± β 2 - 4 ω 0 2 2

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Aqui temos tres casos:

  1. Subcrítico: Se ω 0 2 > β 2 2
  2. Crítico: Se ω 0 2 = β 2 2
  3. Supercrítico: Se ω 0 2 < β 2 2

Casos em que dependem doa valores dados no item b) que veremos em breve.

Para x h :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 5 cos ⁡ t

Façamos F 0

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = F 0 cos ⁡ t

Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:

y ' ' + β y ' + ω 0 2 y = F 0 s e n ( t )

De modo que podemos formar uma função z = x + i y

z ' ' + β z + ω 0 2 z = F o e i t

Façamos z = A   e i t ; z ' = A i e i t ;     z ' ' = A i 2 e i t

Ficando:

A e i t i 2 + i β + ω 0 2 = F 0 e i t

Ficando:

A = F 0 i 2 + i β + ω 0 2

Que ainda constitui um valor que contem imaginário. Estamos resolvendo a equação para um problema real, logo não é normal haver uma parte imaginário. Para eliminá-lo, multipliquemos pelo seu conjugado:

A A * = F 0 i 2 + i β + ω 0 2     F 0 i 2 + ( - i ) β + ω 0 2

Ficando:

A A * = F 0 2 ω 0 2 - 1 2 + β 2

Logo:

A = F 0 2 ω 0 2 - 1 2 + β 2 = F 0 ω 0 2 - 1 2 + β 2  

Logo:

x p t = A cos ⁡ 3 t = F 0 ω 0 2 - 1 2 + β 2     c o s ⁡ ( t )  

Lembrando F 0 = 5

x p t = 5 ω 0 2 - 1 2 + β 2     c o s ⁡ ( t )  

Logo nós temos que descobrir sob qual regime de amortecimento o sistema está sujeito para resolver a solução x t = x h t + x p ( t )

Passo 3

Para b) temos que:

16 = 4 k → k = 4

Sabendo que ω 0 2 = k m   logo ω 0 2 = 4 16 = 1 4

E dado que β = 2

Logo:

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

λ =   - 1 ± 3 4 = - 1 ± 3 2  

Caso supercrítico.

Logo:

x h t = c 1 e ( - 1 + 3 2 )   t + c 2 e - 1 - 3 2 t

x h t = e - 1 t c 1 e t 3 4   + c 2 e - t 3 4

Para acharmos os valores de c 1   e   c 2 :

  1. É dito que é x 0 = 0
  2. Também que x ' 0 = 0

x 0 = 0 = 1 c 1 + c 2

x ' 0 = 0 = - 1 3 4   c 1 - 3 4 c 2

x ' 0 = - 1 + 3 4     c 1 + - 1 - 3 4     c 2 = 0

Que assim achamos os seus respectivos valores.

E para x p :

x p t = 5 ω 0 2 - 1 2 + β 2     c o s ⁡ ( t )  

Substituindo os valores

x p t = 5 1 4 - 1 2 + 2 2     c o s ⁡ ( t )  

Resposta

Logo temos que:

x t = c 1 e ( - 1 + 3 2 )   t + c 2 e - 1 - 3 2 t + 5 1 4 - 1 2 + 2 2     c o s ⁡ ( t )    

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