Enunciado

Uma massa de 1 Quilograma cuja constante de mola é 16N/m e todo o sistema e então submerso a liquido que oferece uma força de amortecido numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine a equação do movimento considerando que:

  1. A massa é solta do repouso 1 metro abaixo da posição de equilíbrio;
  2. A massa é solta 1 metro abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade 12m/s pra cima.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte... Então temos a seguinte equação:

- k x - β v = m a

Sendo a = x ' ' ; v = x ' ; k = 16 N m   e   β = 10   e   m = 1   k g

x ' ' + 10 x ' + 16 x = 0             ( 0.1 )

Passo 2

Tomando x = e λ t . Logo: x ' = λ   e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

Assim:

e λ t λ 2 + 10 λ + 16 = 0           0.2

λ 2 + 10 λ + 16 = 0         0.3

λ = - 10 ±   100 - 64 2

Temos que:

x t = c 1 e - 2 t + c 2 e - 8 t

Passo 3

Para acharmos os valores de c 1 e c 2 , usaremos os dados sobre as condições iniciais. Veja:

  1. É dado que a massa é solta de ponto 1 metro abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 1
  2. É dito também que parte do repouso, logo x ' 0 = 0

Assim:

x 0 = 1 = c 1 + c 2

x ' 0 = 0 = - 2 c 1 - 8 c 2 → c 1 = - 4 c 2

Resposta

Assim:

x t = 4 3 e - 2 t - 1 3 e - 8 t

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