Uma massa de 1 slug quando presa a uma, distende-a em 2 pés e então chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de uma força externa igual a é aplicada ao sistema. Qual é a equação do movimento se o meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade?
Passo 1
Faaaala, cara! Tranquileba?
Seguinte, será um pouco trabalhosa, mas também não algo que nós não consigamos, então chega junto :P
Temos que:
Logo temos que a seguinte equação:
Que surge então a EDO:
Passo 2
Pelos dados do enunciado:
A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular e solução homogênea Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( e solução estacionária (.
Assim para
Façamos
Logo:
Estamos em frente à um sistema com amortecimento supercrítico, pois ,
ou seja, o amortecimento é maior que a frequência do sistema.
Assim:
Linda e feia ao mesmo tempo, né?! hahaah :P
Passo 3
Agora vamos para
Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:
E uma função complexa para nos auxiliar a solucionar o problema das duas funções.
De forma eu podemos somar y i vezes a função x, de forma que:
Fazendo:
Logo:
Que nos dá como valor de A:
Que ainda constitui um valor que contem imaginário. Estamos resolvendo a equação para um problema real, logo não é normal haver uma parte imaginário. Para eliminá-lo, multipliquemos pelo seu conjugado:
Que nos dá como resultado:
Logo:
Assim:
E como dito anteriormente que a solução desse tipo de EDO é a soma das soluções homogênea e particular
Resposta
Temos, portanto, que;
Que é de uma EDO de um movimento com regime de amortecimento supercrítico e sujeito a uma força externa.