Enunciado

Uma massa de 1 slug quando presa a uma, distende-a em 2 pés e então chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de t = 0 uma força externa igual a f t = 8   s e n 4 t   é aplicada ao sistema. Qual é a equação do movimento se o meio oferece uma força amortecedora numericamente igual a oito vezes a velocidade?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, será um pouco trabalhosa, mas também não algo que nós não consigamos, então chega junto :P

Temos que:

1 = 2 k → k = 1 2 s l u g p é

Logo temos que a seguinte equação:

∑ i = 1 n F → i = d P → d t

F e x t - k x   - β v = m a

Que surge então a EDO:

x ' ' + β m x ' + k m x = F e x t m

Passo 2

Pelos dados do enunciado:

x ' ' + 8 x ' + 1 2 x = 8 s e n ( 4 t )

A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular x h t e solução homogênea x h t . Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( x h t ) e solução estacionária ( x p ( t ) ) .

Assim para x h :

x ' ' + 8 x ' + 1 2 x = 0

Façamos x = e λ t ; x ' = λ e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

Logo:

e λ t λ 2 + 8 λ + 1 2 = 0

λ 2 + 8 λ + 1 2 = 0

λ = - 8 ±   8 2 - 2 2

λ = - 4 ± 8 2 2 - 2 2 2

Estamos em frente à um sistema com amortecimento supercrítico, pois β 2 2 > ω o 2 ,

ou seja, o amortecimento é maior que a frequência do sistema.

Assim:

x h t = c 1 e - 4 + 8 2 2 - 2 2 2 t   + c 2 e - 4 - 8 2 2 - 2 2 2   t

Linda e feia ao mesmo tempo, né?! hahaah :P

Passo 3

Agora vamos para x p :

x ' ' + 8 x ' + 1 2 x = 8 s e n 4 t

Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:

y ' ' + 8 y ' + 1 2 y = 8 c o s 4 t  

E uma função complexa z = y + i x para nos auxiliar a solucionar o problema das duas funções.

De forma eu podemos somar y i vezes a função x, de forma que:

z ' ' + 8 y ' + 1 2 y = 8 e i 4 t

Fazendo: z = A e i 4 t ;     z ' = A   i 4   e i 4 t ; z ' ' = A   i 4 2 e i 4 t

Logo:

A e i 4 t i 4 2 + 24 i + 1 2 = 8 e i 4 t

Que nos dá como valor de A:

A = 8   i 4 2 + 24 i + 1 2

Que ainda constitui um valor que contem imaginário. Estamos resolvendo a equação para um problema real, logo não é normal haver uma parte imaginário. Para eliminá-lo, multipliquemos pelo seu conjugado:

A A * = 8   i 4 2 + 24 i + 1 2           8   - i 4 2 - 24 i + 1 2

Que nos dá como resultado:

A A * = 8 2 - 31 2 2 + 24 2

Logo:

A = 8 2 - 31 2 2 + 24 2 = 8 - 31 2 2 + 24 2

Assim:

x p t = A s e n 4 t =   8 - 31 2 2 + 24 2 cos ⁡ 4 t

E como dito anteriormente que a solução desse tipo de EDO é a soma das soluções homogênea e particular

Resposta

Temos, portanto, que;

x t =   c 1 e - 4 + 8 2 2 - 2 2 2 t   + c 2 e - 4 - 8 2 2 - 2 2 2   t + A s e n 4 t =   8 - 31 2 2 + 24 2 cos ⁡ 4 t  

Que é de uma EDO de um movimento com regime de amortecimento supercrítico e sujeito a uma força externa.

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