Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill, Equações Diferenciais com aplicação - Capítulo 5.1 - Ex. 30

Uma massa de 1 slug é presa a uma mola cuja constante é 5 l i b r a s p é s . Inicialmente a massa parte de 1 pé abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 5 p é s s para baixo e o movimento subsequente tem lugar em um meio que oferece uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea.

  1. Qual é a equação do movimento se a massa sofre a ação de uma força externa igual a f t = 12 cos ⁡ 2 t + 3   s e n 2 t ?
  2. Faça o gráfico das soluções transiente e estacionária no mesmo conjunto dos eixos coordenados
  3. Faça o gráfico da equação do movimento

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Sabemos que:

1   s l u g = 32   l i b r a s

Logo nossa EDO fica:

x ' ' + 5 32 x + 2 32 x ' = 12 cos ⁡ 2 t + 3   s e n ( 2 t )

Que pode escrita como:

x ' ' + 1 16 x ' + 5 32 x = 153 32   s e n ( 2 t + 1,3258 )

Chamemos 1 16 = β ,       5 32 = ω 0 2   e 153 32 = F 0

Assim:

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = F 0   s e n ( 23 + 1,3258 )

Passo 2

Sabemos que uma equação diferencial linear, não homogênea de coeficientes constantes e de segunda ordem, admite como solução geral é a soma da solução transiente x h com a solução estacionário x p . Sendo, portanto x t = x p + x h

Para x h ( t ) :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Fazendo x = e λ t ;     λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Assim:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando que: ω 0 2 = 5 32     e   β = 1 16 e dado esses valores, vemos que:

β 2 2 - ω 0 2 ∈   Z

λ = - β 2 ± i ω 0 2 - β 2 2

Façamos ω 0 2 - β 2 2 = ω  

λ = - β 2 ± i ω

Assim:

x h t = c 1 e - β 2 + i ω t + c 2 e - t β 2 + i ω

x h t = e - β t 2 c 1 e i   ω t + c 2 e - i   ω t

x h t = e - β t 2 c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t

x h t = e β t 2 c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2 .

x h t = e β t 2 ( a cos ⁡ ω t + b   s e n ( ω t ) )  

Para: a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t ,     encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 1 pé abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 1
  2. É também dito que a massa é solta com uma velocidade 5 p é s s para baixo, logo x ' 0 = 5

Assim:

x 0 = 1 = a

x ' 0 = 5 = b ω → b = 5 ω

Logo:

x h t = e   -   β t 2 cos ⁡ ω t + 5 ω s e n ω t

Lembrando que: ω 0 2 = 5 32     e   β = 1 16 e ω = ω 0 2 - β 2 2

x h t = e - t 32 cos ⁡ 5 32 - 1 32 2   t + 5 5 32 - 1 32 2   s e n 5 32 - 1 32 2   t

Passo 3

Para x p :

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = F 0   s e n ( 2 t + 1,3258 )

Soluções de uma EDO desse tipo constitui um espaço vetorial de dimensão 2 que comportam infinitas soluções. Deste modo, façamos uma função parecida. Assim:

y ' ' + β y ' + ω 0 2 y = F 0 cos ⁡ 2 t + 1,3258

De modo que podemos fazer uma função z = y + i x

z ' ' + β z ' + ω 0 2 y = F 0 e i 2 t + 1,3258

Façamos z = C e i 2 t + 1,3258 ;     z ' = C 2 i e i 2 t + 1,3258 ;     z ' ' = C 2 i 2 e i 2 t + 1,3258

C e i 2 t + 1,3258 2 i 2 + 2 i β + ω 0 2 = F 0 e i 2 t + 1,3258

De modo que:

C = F 0 - 4 + ω 0 2 + i 2 β

Que ainda constitui um valor que contem imaginário. Estamos resolvendo a equação para um problema real, logo não é normal haver uma parte imaginário. Para eliminá-lo, multipliquemos pelo seu conjugado:

C C * =   F 0 - 4 + ω 0 2 + i 2 β         F 0 - 4 + ω 0 2 + ( - i ) 2 β

C C * = F 0 2 - 4 + ω 0 2 2 + 2 β 2

Sabendo que C C * = A 2

A = F 0 ω 0 2 - 4 2 + 2 β 2  

Portanto:

x p t = A   s e n 2 t + 1,3258

x p t = F 0 ω 0 2 - 4 2 + 2 β 2     s e n ( 2 t + 1,3258 )

Lembrando que: ω 0 2 = 5 32     e   β = 1 16 e F 0 = 153 32

x p t = 153 32 5 32 - 4 2 + 1 8 2     s e n ( 2 t + 1,3258 )

Resposta

  1. x t = x h t + x p t
  2. x t = e - t 32 cos ⁡ 5 32 - 1 32 2   t + 5 5 32 - 1 32 2   s e n 5 32 - 1 32 2   t + 153 32 5 32 - 4 2 + 1 8 2     s e n ( 2 t + 1,3258 )

Onde a linha em verde é a solução estacionária, e a azul a transiente.

c)

Perceba que após certo tempo a solução já não se altera mais, o porque disso é devido a solução mais geral dada no item a). Quando t fica muito grande, a solução transiente ( x h ( t ) ) tende para o zero, de modo que a única que permanece e determina a posição é a solução estacionário ( x p t ) por isso seu nome.

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