Responde Aí

Enunciado

Uma massa de 1 slug é suspensa a partir de um de uma mola cuja constante vale 9 l i b r a s p é . A massa é incialmente lançada a partir de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade ascendente de 13 p é s . Encontre o instante que a massa se dirige para baixo com uma velocidade 3 p é s .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte... Antes de tudo precisamos colocar as unidades em ordem (slug é diferente de libras)

t e m o s   q u e   1   s l u g = 32   l i b r a s

Assim podemos montar nossa EDO:

x ' ' + 9 32 x = 0

Fazendo ω 2 = 9 32

x ' ' + ω 2 x = 0           ( 0.1 )

Passo 2

E para x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t    

e λ t λ 2 + ω 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω                   ( 0.3 )

Logo:

x h t = c 1 e + i ω t + c 2 e - i ω t                             ( 0.4 )

x h t = c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t                     ( 0.5 )

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + c 1 - c 2 i   s e n ω t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ ω t + b s e n ω t                     ( 0.7 )

Para achar os valores a e   b usemos os valores iniciais:

  1. É dito que a massa é solta de um ponto 1   p é acima da posição de equilíbrio, logo x 0 = - 1
  2. É também dito que é solta com velocidade inicial de 13 p é s para cima, logo x ' 0 = - 13

Assim:

x 0 = - 1 = a

x ' 0 = - 13 = b ω

Logo:

x t = - cos ⁡ ω t - 13 ω s e n ω t

Relembrando ω = 9 32 = 3 2 1 2

x t = - cos ⁡ 3 4 1 2   t - 53 3 2   s i n ⁡ ( 3 4 1 2   t )

Que pode ser escrito como:

x t = 25,004   s e n 3 4 2   t - 3.10

Passo 3

Pede-se que encontremos o instante t em que a massa se dirige para baixo com velocidade v = 3 p é s s .

Sabendo que a velocidade é derivada da posição com respeito ao tempo, temos:

v = d x d t = 25,004 3 4 2 cos ⁡ 3 4 2   t - 3.10 = 3

Resposta

3 = 25 , 004 3 4 2 cos ⁡ 3 4 2   t - 3.10

3 25 , 004 3 4 2 = cos ⁡ 3 4 2   t - 3.10

3 4 2 t - 3.10 = cos - 1 ⁡ 3 25,004 3 4 2  

3 4 2 t = cos - 1 ⁡ 3 25 , 004 3 4 2 + 3.10

t = 4 2 3 cos - 1 ⁡ 3 25 , 004 3 4 2 + 3.10

t = 8,37   s