Medianas de um triângulo

Suponha que A, B e C sejam os vértices da placa triangular fina de densidade constante mostrada a seguir.

  1. Encontre o vetor de C ao ponto médio M do lado AB.
  2. Encontre o vetor de C ao ponto que está localizado a dois terços do caminho entre C e M na mediana CM.
  3. Encontre as coordenadas do ponto no qual as medianas do ∆ABC se cruzam. De acordo com o Exercício 17, Seção 6.6, esse ponto é o centro de massa da placa.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e a geometria do espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre teoria e aplicações de vetores e geometria espacial.

Item a

Analisando o enunciado, podemos calcular o ponto médio de AB:

M 4 + 1 2 , 2 + 3 2 , 0 + 0 2 = 5 2 , 5 2 , 0

E o vetor pedido:

C M → = 5 2 , 5 2 , 0 - 1 ,   1 ,   3 = 5 2 - 1 , 5 2 - 1 ,   0 - 3 = 3 2 , 3 2 ,   - 3

Ou:

C M → = 3 2 i + 3 2 j - 3 k

Item b

O vetor pedido é dado por:

2 3 C M → = 2 3 3 2 i + 3 2 j - 3 k = i + j - 2 k

Passo 2

Item c

Sabemos que o vetor cuja soma, é o vetor da origem até C e o resultado da parte (b) terminará no centro de massa. Logo, teremos:

i + j + 3 k + i + j - 2 k = 2 i + 2 j + k

Que é o ponto:

2 ,   2 ,   1

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

a )   C M → = 3 2 i + 3 2 j - 3 k

b )   i + j - 2 k

c )   2 ,   2 ,   1