O método de aproximações sucessivas (veja a Secção 2.8) também pode ser aplicado a sistemas de equações. Por exemplo, considere o problema de valor inicial

Onde é uma matriz constante e um vetor dado.

a) Suponha que existe uma solução e mostre que ela tem que satisfazer a equação integral.

b) Comece com a aproximação inicial . Substitua no lado direito da equação (ii)por exemplo pressão e obtenha uma nova aproximação . Mostre que

c) Repita esse processo obtendo, assim. uma sequência de aproximações Use um argumento indutivo para mostrar que:

d) Faça e mostre que a solução de valor inicial (i) é :

Nesse item vamos realizar mais uma demonstração. Tranquilo!

Inicialmente vamos continuar integrando.

Com e notando que A é uma matriz constante:

Ou seja:

Nesse item vamos realizar mais uma demonstração. Tranquilo!

Escrevendo o segundo termo da sequência e realizando a integração da expressão do item anterior:

Agora suponha que:

Integrando:

Portanto:

Por indução, a forma afirmada de é válida para todo

Até aí, tranquilo?

Primeiramente vamos definir que

Podemos mostrar que o limite existe, sabendo que:

Vamos derivar termo a termo da expressão do item anterior que vai resulta em:

Logo:

Além disso:

Definido que

Seja a única solução do problema.

Ufa, essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!