Misturas. Suponha que uma salmoura contendo 0,3 qui-

los (kg) de sal por litro (L) entre em um tanque cheio com

400 L de água, contendo 2 kg de sal. Se a salmoura entrar a

10 L/minutos, a mistura é mantida uniforme por agitação, e

a mistura flui no mesmo ritmo. Encontre a massa de sal no

tanque após 10 minutos (ver Figura 2.4). [Dica: considere

que A indica o número de quilos de sal no tanque em t minu-

tos após o processo iniciar e use o fato de que

taxa de aumento em A = taxa de entrada − taxa de saída.

Outra discussão sobre problemas de mistura aparece na

Seção 3.2.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

taxa de aumento em A​​=taxa de entrada de sal - taxa de saída de sal, equacionando isso:

d A ( t ) d t   =   ( 10 ) ( 0.3 )   -   ( 10 ) ( A ( t ) 400 )

d A ( t ) d t   =   3 - A ( t ) 40

agora nós temos,

d A d t   =   3 -   A 40

d A d t   =   120 - A 40

40 120 - A d A   =   d t

integrando em ambos os lados

∫ 40 120 - A d A   =   ∫ d t

- 40   l n | 120 - A | =   t   +   C 1

l n   | 120 - A |   =   - t 40 + C 2

120   -   A   =   e - t / 40 + C 2

120   -   A   =   C 3 e - t / 40

- A   =   C 3 e - t / 40 - 120

A ( t )   =   120   -   C e - t / 40

Passo 2

nos é dito no problema que inicialmente (t=0), o tanque continha 2 kg de sal, portanto, aplicando A(0)=2 para obter o valor de C,

2   =   120   -   C e ⁰

2 - 120   =   - C

118   =   C

então,

A ( t )   =   120   -   118 e - t / 40

determinar a massa de sal no tanque após 10 minutos,

A   =   120   -   118 e - 10 / 40

A   ≈   28.1   k g

Resposta

A   ≈   28.1   k g