Enunciado

Uma mola com constante k = 2   é suspensa em um liquido que oferece um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a quatro vezes a velocidade instantânea. Se uma massa m for suspensa pela mola, quais serão os valores de m para os quais o movimento livre subsequente será não oscilatório?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos então que:

x ' ' + 4 m   x ' + 2 m   x = 0

Façamos 4 m = β ;   2 m = ω 0 2

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Façamos x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;     x ' ' λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Partir daqui, temos três casos:

  1. Se β 2 2 = ω 0 2 temos um amortecimento crítico e não há oscilação;
  2. se β 2 2 > ω 0 2 temos um amortecimento supercrítico e não há oscilação;
  3. se β 2 2 < ω 0 2 temos um amortecimento subcrítico e há oscilações.

Passo 3

O exercícios nos pede que não haja oscilação, logo β 2 2 ≥ ω 0 2

Voltemos à:

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando 4 m = β ;   2 m = ω 0 2

λ = - 2 m ± 2 m 2 - 2 m

E

4 m 2 ≥ 2 m

m 2 4 ≤ m 2

m 2 2 < m

m 2 - 2 m ≤ 0

0 < m ≤ 2

Resposta

0 < m ≤ 2

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