Enunciado

Uma mola de 4 pés passa a medir 8 depois que é presa a ela uma massa pesando 8 libras. O meio através do qual a massa vai se mover oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 2   vezes a velocidade instantânea. Qual será a equação do movimento se a massa a massa for solta inicialmente da posição de equilíbrio a uma velocidade de 5 p é s s para baixo? Ache o instante no qual a massa atingirá seu deslocamento máximo da posição de equilíbrio. Qual será a posição da massa nesse instante?

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

8 = k   8 - 4 → k = 2 l i b r a s p é s

Assim temos a EDO:

x ' ' + 2 8 x ' + 2 8 x = 0

Façamos 2 8 = β ;     2 8 = ω 0 2

Assim:

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Fazendo x = e λ t ;     λ e λ t ;     x ' ' = λ 2 e λ t

Assim:

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ = - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando: 2 8 = β ;     2 8 = ω 0 2

Logo:

β 2 2 - ω 0 2 ∈ C

Então façamos:

ω = ω 0 2 - β 2 2

Portanto:

λ = - β 2 ± i ω

Dessa forma:

x h t = c 1 e -   β 2 + i ω t + c 2 e -   β 2   -   i ω t

x h t = e - β 2 t ( c 1 e i ω t + c 2 e - i ω t )

x h t = e - β t 2 c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t

x h t = e β t 2 c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t

Fazendo a = c 1 + c 2 ;     b = i c 1 - c 2 .

x h t = e β t 2 ( a cos ⁡ ω t + b   s e n ( ω t ) )  

Passo 3

Para: a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t ,     encontraremos os valores de A e B pelas condições iniciais. Veja:

  1. É dito que a massa é solta da posição de equilíbrio, logo x 0 = 0
  2. É também dito que a massa é solta com uma velocidade de 5 p é s s para baixo, logo x ' 0 = 5

Assim:

x 0 = 0 = a

x ' 0 = 5 = b ω → b = 5 ω

Logo a equação ficaria:

x h t = 5 ω e - β t 2   s e n ( ω t )

Lembrando: 2 8 = β ;     ω = ω 0 2 - β 2 2 sendo ω 0 2 = 2 8

x h t = 5 1 4 - 2 16 2 ( e -   2 16   t   s e n   1 4 - 2 16 2 t

Resposta

O instante t que a massa atinge seu deslocamento máximo é quando   s e n   1 4 - 2 16 2 t = 1

  s e n   1 4 - 2 16 2 t = 1

1 4 - 2 16 2 t =   s e n - 1 1

t =   s e n - 1 1 1 4 - 2 16 2 ≈ 3,2      

E quando for esse valor de t a posição será:

x h 3,2 = 5 1 4 - 2 16 2   e -   2 16       3,2   1

x h = 7,66   p é s  

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