Bora resolver mais uma questão.
Vamos analisar as informações dadas no enunciado.
x 2 + y 2 = a 2 → r a i o = a
0 ≤ r ≤ a
z = a 2 - x 2 - y 2 → n = 2 x i + 2 y j + k
y = a 2 - x 2
∮ C F . T d s = ∬ σ r o t F . n d S = ∬ σ 5 i + 2 j + 3 k . ( 2 x i + 2 y j + k ) d S = ∬ R 10 x + 4 y + 3 d A
Considerando que:
x = r c o s θ ; y = r s e n θ
Temos:
∮ C F . T d s = ∬ R 10 x + 4 y + 3 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 10 r c o s θ + 4 r s e n θ + 3 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 10 r 2 c o s θ + 4 r 2 s e n θ + 3 r d r d θ = ∫ 0 2 π 10 r 3 3 c o s θ + 4 r 3 3 s e n θ + 3 r 2 2 0 a d θ = = ∫ 0 2 π 10 a 3 3 c o s θ + 4 a 3 3 s e n θ + 3 a 2 2 d θ = 10 a 3 3 s e n θ - 4 a 3 3 c o s θ + 3 θ a 2 2 0 2 π = 10 a 3 3 s e n 2 π - 4 a 3 3 c o s 2 π + 32 π a 2 2 - 10 a 3 3 s e n 0 + 4 a 3 3 c o s 0 - 3 * 0 * a 2 2 = - 4 a 3 3 + 3 π a 2 + 4 a 3 3 = 3 π a 2