Enunciado

Mostramos no Exemplo 2 que o campo vetorial

F ( x ,   y ,   z )   =   2 z i   +   3 x j   +   5 y k

satisfaz a equação r o t   F   =   5 i   +   2 j   +   3 k . Segue do Teorema de Stokes que se C for qualquer círculo de raio a no plano xy orientado no sentido anti-horário quando visto do eixo z positivo, então

∮ C F . T   d s =   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

onde T denota o vetor tangente unitário a C.

Passo 1

Bora resolver mais uma questão.

Vamos analisar as informações dadas no enunciado.

x 2 + y 2 = a 2 → r a i o = a

0 ≤ r ≤ a

z = a 2 - x 2 - y 2   → n = 2 x i + 2 y j + k

y = a 2 - x 2

∮ C F . T   d s = ∬ σ r o t   F . n   d S = ∬ σ 5 i   +   2 j   +   3 k . ( 2 x i + 2 y j + k )   d S = ∬ R 10 x + 4 y   +   3   d A

Considerando que:

x = r c o s θ ; y = r s e n θ

Temos:

∮ C F . T   d s = ∬ R 10 x + 4 y   +   3   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 10 r c o s θ + 4 r s e n θ   +   3 r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 10 r 2 c o s θ + 4 r 2 s e n θ   +   3 r d r d θ = ∫ 0 2 π 10 r 3 3 c o s θ + 4 r 3 3 s e n θ   +   3 r 2 2 0 a d θ = = ∫ 0 2 π 10 a 3 3 c o s θ + 4 a 3 3 s e n θ   +   3 a 2 2 d θ =   10 a 3 3 s e n θ - 4 a 3 3 c o s θ   +   3 θ a 2 2 0 2 π = 10 a 3 3 s e n 2 π - 4 a 3 3 c o s 2 π   +   32 π a 2 2 - 10 a 3 3 s e n 0 + 4 a 3 3 c o s 0 -   3 * 0 * a 2 2 = - 4 a 3 3 + 3 π a 2 + 4 a 3 3 = 3 π a 2

Resposta

3 π a 2

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