Se h(x) = a*f(x) + b com a ≠ 0 , mostrar que M_h = M_f . Prova este fato que diferentes funções podem conduzir ao mesmo valor médio. Interpretar este problema geometricamente

Passo 1

O próprio enunciado já dá uma diquinha boa pra resolvermos essa questão por Valores Médios, que teorema é esse? Relembrando, se f é uma função contínua e estritamente monótona em todo o semi-eixo real positivo e represente g a função inversa de f. Sendo a 1 < a 2 < … < a n são n números reais positivos dados, chama-se valor médio com respeito a f ao número M f definido por:

M f = g 1 n ∑ i = 1 n f ( a 1 )

Passo 2

Beleza, então nosso próximo passo é reescrever h em M h , assim:

M h = H 1 n ∑ i = 1 n h ( a 1 ) = H 1 n ∑ i = 1 n a   f a 1 + b = H a 1 n ∑ i = 1 n f a 1 + b

Passo 3

E por fim, o inverso de h é g = h - b a = H h = h - 1 , logo:

M h = g 1 n ∑ i = 1 n f ( a 1 ) = M f

Ou seja, essa igualdade prova que a média não varia nesse caso.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)