Mostrar que no gráfico de qualquer polinômio quadrático, a corda unindo os pontos para os quais x =a e x = b é paralela à tangente à curva no ponto em que x = (a + b) / 2

Passo 1

Primeiro vamos escrever um polinômio de grau 2 qualquer, para auxiliar:

f x = c 1 x 2 + c 2 x + c 3

Ou seja, f ' x =   c 1 2 x + c 2 a ideia é usarmos essa equação para concluirmos que a inclinação da corda unindo x =a e x = b é igual à inclinação da reta tangente à curva no ponto x = a + b 2 , ou seja, como temos f ' x   conseguimos descobrir qual inclinação da reta tangente à curva no ponto dado.

Passo 2

Para isso, faremos f ' a + b 2 =     c 1 2 a + b 2 + c 2 = c 1 a + b + c 2  

Passo 3

Agora iremos achar a inclinação da corda que une os pontos a , f a   e   ( b , f b ) .

f b - f ( a ) b - a =   c 1 b 2 + c 2 b + c 3 - ( c 1 a 2 + c 2 a + c 3 ) b - a =

= c 1 ( b 2 - a 2 ) + c 2 ( b - a ) b - a

Usaremos a fatoração b 2 - a 2 = b - a b + a   e   s i m p l i f i c a r e m o s   b - a

f b - f ( a ) b - a =   c 1 b + a + c 2

Veja que as inclinações são iguais, ou seja, ambas são paralelas

Resposta

Demonstração