Mostrar que não existe f' (3) .

Passo 1

Fala, pessoal!!!

Bora identificar nossos pontos olhando para o gráfico, e usar a relação para determinar nossas derivadas:

f^' (a) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h) - f (a))/(h) = underset(x -> a)(lim) (f (x) - f (a))/(x - a)

Passo 2

Para a = 3 :

O ponto a = 3 se localiza entre duas retas.

f (3) = 1

A equação da reta pode ser escrita como:

f (x) = m x + b

m e b são constantes.

Aplicando a derivada por definição:

f^' (3) = underset(h -> 0)(lim) (f (3 + h) - f (3))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) ((m (3 + h) + b) - (3 m + b))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (3 m + h m + b - 3 m - b)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h m)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) m = m

Passo 3

Agora temos que encontrar o valor das constantes m e b :

Escrevendo a equação das retas, temos:

f (x) = m x + b

Vamos analisar as derivadas pela direita e pela esquerda.

Pela esquerda, para a reta 1 :

f_1 (x) = {[[0,m_1,+,b_1,=,1],[3,m_1,+,b_1,=,1]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m_1 = 0 e b_1 = 1 e a equação da reta 1 fica:

f_1 (x) = 1

Ou seja, podemos afirmar que:

f_1^' (3^-) = m_1 = 0

a = 3^- -> f^' (3^-) = 0

Pela direita, para a reta 2 :

f_2 (x) = {[[3,m_2,+,b_2,=,1],[5,m_2,+,b_2,=,2]])

Resolvendo esse sistema, encontramos m_2 = (1)/(2) e b_2 = - (1)/(2) e a equação da reta 2 fica:

f_2 (x) = (1)/(2) x - (1)/(2)

Ou seja, podemos afirmar que:

f^' (3^+) = m_2 = (1)/(2)

a = 3^+ -> f^' (3^+) = (1)/(2)

Passo 4

Vamos comparar as nossas derivadas:

f^' (3^-) = 0

f^' (3^+) = (1)/(2)

Elas são diferentes!

E como f^' (a) é um limite, e os limites são diferentes pela esquerda e pela direita, podemos afirmar que esse limite não existe. Logo, f^' (3) não existe!

Resposta

Demonstração nos passos acima.