Mostrar que a reta y = -x é tangente à curva definida pela equação y = x^3 - 6x^2 + 8x . Determinar o ponto de tangência. Intersectam esta tangente a curva em qualquer outro ponto?

Passo 1

Nosso primeiríssimo passo vai ser prova a tangência da reta y = - x à equação y = x 3 - 6 x 2 + 8 x , podemos estabelecer a seguinte relação:

d d x x 3 - 6 x 2 + 8 x = i n c l i n a ç ã o   d a   r e t a

Logo:

3 x 2 - 12 x   + 8 = - 1       →       x = 1   o u   x = 3

Passo 2

Beleza, então a gente já sabe que a reta e a curva são de fato tangentes, então para determinarmos em qual ponto há esse encontrinho, basta igualar as duas equações:

x 3 - 6 x 2 + 8 x = - x

Para desenvolver essa equação, nós vamos usar a informação obtida no passo 1 de que quando x=3 há a tangência, logo:

f 3 = - 3

Portanto, na coordenada (3,-3) há tangência!!

Passo 3

Ok, pergunta, a curva e a reta se cruzam em outra coordenada? Bom, olhando a seguinte igualdade:

x 3 - 6 x 2 + 8 x = - x

Fica bem na cara que se nós considerarmos x=0, a igualdade é igualada né, portanto, outra coordenada é (0,0).

Resposta

x = 3   ; x = 0