Mostrar que x^2 = x * sen x + cos x se verifica exatamente para dois valores reais de x.

Passo 1

Bom, para começar a questão vamos tomar f x = x 2 - x s e n x - c o s x , queremos as raízes de f   (veja que se colocar f x = 0 aparece o que queremos).

Vamos derivar a equação:

f ' x = 2 x - x s e n x ' - s e n x = 2 x - s e n x + x c o s x + s e n x

f ' x = 2 x - x c o s x

f ' x = x 2 - c o s x

Passo 2

Bom, sabendo que - 1 <   c o s x < 1   , claramente a parte de dentro dos parênteses não será zero, ou seja:

f ' x = 0   ↔ x = 0

Agora iremos aplicar o teorema de rolle que nos diz:

Dada uma função contínua f definida em um intervalo fechado [ a , b ] e diferenciável em a . b , se f a = f ( b ) , então existe um ponto c em ( a , b ) tal que:

f ' c = 0

Passo 3

Agora iremos voltar para f ' x .

f ' x = x 2 - c o s x

V e j a   q u e   f x   é contínua e diferenciável em todo domínio, ou seja, podemos aplicar o teorema de Rolle sem medo.

Iremos de trás para frente, na verdade, pois sabemos que existe apenas um c, tal que f ' c = 0 ,   n e s s e   c a s o   c = 0 , ou seja, existe no máximo 2 “pontos” que ocorre f a = f b   .Além disso, podemos afirmar que um deles é negativo e o outro positivo, uma vez que c = 0   p e r t e n c e   a o   i n t e r v a l o   ( a , b )   .

Resposta

Demonstração