(a) Mostre que, se (∂N/dx - ∂M/dy) / (xM - yN) depende apenas do produto x y , ou seja,

∂N/dx - ∂M/dy / xM - yN = H(xy)

Então, a equação M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 tem um fator integrante na forma μ(xy) . Dê a fórmula geral para μ(xy) .

(b) Use sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para

(3y + 2x * y^2) dx + (x + 2 * x^2 * y) dy = 0

Satisfazendo a condição inicial y(1) = 1 .

Passo 1

Falaaa, belezaa??

Nesta questão vamos usar algumas equações de EDO exatas para achar a fórmula que ele nos pede na letra (a).

Já na letra (b) apenas vamos usar a receita de bolo que criamos na (a). Bora lá!!

Passo 2

Se I ( x , y ) depende apenas do produto de x y , então:

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ∂ F ∂ y

Multiplicando uma equação exata genérica por I .

I x , y M d x + I x , y N d y = 0

Agora, fazendo as derivadas parciais da equação acima:

∂ F ∂ x = I x , y M

Derivando a função em relação a y , que é o que a equação exata pede.

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = I x , y ∂ M ∂ y + M ∂ I ∂ y

Fazendo a mesma coisa com a derivada parcial em y .

∂ F ∂ y = I x , y N

Agora, derivando em relação a x .

∂ ∂ x ∂ F ∂ y = I x , y ∂ N ∂ x + N ∂ I ∂ x

E o que a equação exata nos pede, é a fórmula que já definimos acima:

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ∂ F ∂ y

Substituindo os valores de cada lado:

I x , y ∂ M ∂ y + M ∂ I ∂ y = I x , y ∂ N ∂ x + N ∂ I ∂ x

Isolando I .

I x , y ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = N ∂ I ( x y ) ∂ x - M ∂ I ( x y ) ∂ y

Derivando x y parcialmente em relação a x , sobra y e sobra x derivando parcialmente em relação a y .

I x , y ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = I ' x ,   y N y - M x

I ' x ,   y I x , y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N y - M x

I ' x , y I x , y = H x y

I ' x , y I x , y = H v

Então, se v depende do produto de x y , integrando os dois lados temos:

I = e ∫ H ( v ) d v

Passo 3

Agora, vamos achar a solução da equação abaixo com o fator integrante.

3 y + 2 x y 2 d x + x + 2 x 2 y d y = 0

Vamos calcular o H ( x , y ) para colocar na formula do fator integrante depois:

H x y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N y - M x

Calculando as derivadas de M e N .

∂ M ∂ y = 3 + 4 x y

∂ N ∂ x = 1 + 4 x y

Colocando na fórmula de H ( x , y ) .

H x y = 3 + 4 x y - 1 + 4 x y x y + 2 x 2 y 2 - 3 y x + 2 x 2 y 2

H x y = - 2 2 x y

H x y = - 1 x y

Usando a última fórmula que definimos no passo 2, onde v = x y .

I = e ∫ H ( v ) d v

I = e - 1 v d v

I = 1 x y

Achamos nosso fator integrante, agora podemos resolver a EDO do enunciado como uma equação exata.

3 y + 2 x y 2 d x + x + 2 x 2 y d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

3 x + 2 y d x + 1 y + 2 x d y = 0

A solução implícita é dada por:

F x ,   y = ∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ n ( y ) d y

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

F x , y = ∫ 3 x + 2 y d x + ∫ 1 y d y

F x , y = 3 ln ⁡ x + 2 y x + ln ⁡ y + c 1

E aqui está a solução da nossa EDO!!!

Resposta

  1. I = e ∫ H ( v ) d v
  2. F x , y = 3 ln ⁡ x + 2 y x + ln ⁡ y + c 1