(a) Mostre que, se depende apenas do produto , ou seja,
Então, a equação tem um fator integrante na forma . Dê a fórmula geral para .
(b) Use sua resposta do item (a) para encontrar uma solução implícita para
Satisfazendo a condição inicial .
Passo 1
Falaaa, belezaa??
Nesta questão vamos usar algumas equações de EDO exatas para achar a fórmula que ele nos pede na letra (a).
Já na letra (b) apenas vamos usar a receita de bolo que criamos na (a). Bora lá!!
Passo 2
Se depende apenas do produto de , então:
Multiplicando uma equação exata genérica por .
Agora, fazendo as derivadas parciais da equação acima:
Derivando a função em relação a , que é o que a equação exata pede.
Fazendo a mesma coisa com a derivada parcial em .
Agora, derivando em relação a .
E o que a equação exata nos pede, é a fórmula que já definimos acima:
Substituindo os valores de cada lado:
Isolando .
Derivando parcialmente em relação a , sobra e sobra derivando parcialmente em relação a .
Então, se depende do produto de , integrando os dois lados temos:
Passo 3
Agora, vamos achar a solução da equação abaixo com o fator integrante.
Vamos calcular o para colocar na formula do fator integrante depois:
Calculando as derivadas de e .
Colocando na fórmula de .
Usando a última fórmula que definimos no passo 2, onde .
Achamos nosso fator integrante, agora podemos resolver a EDO do enunciado como uma equação exata.
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.
A solução implícita é dada por:
Onde são os termos de que dependem apenas de .
E aqui está a solução da nossa EDO!!!