Mostre que

2ab / (a + b) ≤ raiz(ab) ≤ (a + b) / 2

Passo 1

Show de bola, galera! Aqui temos um clássico problema de demonstração. Ele poderia ser enunciado da seguinte maneira: Mostre que a média aritmética é maior que a geométrica. Além disso, mostre que a média geométrica é maior que a relação dada na primeira desigualdade. Sendo assim, vamos seguir os passos indicados.

Passo 2

Antes, um pequeno adendo sobre demonstrações: Para demonstrar algo, partimos de uma coisa que conhecemos e tentamos chegar ao resultado proposto em um enunciado. Um erro muito comum é usar a conclusão, ou seja, o resultado fornecido no enunciado como ponto de partida. Isso é tosco. O professor te marca de um jeito que você só consegue passar se pedir transferência de faculdade e se ainda tiver a sorte dele não ensinar na outra. Vai por mim.

O que eu quero dizer é o seguinte: O mais óbvio seria usar um dos resultados, digamos

sqrt(a b) <= (a + b)/(2)

e manipularmos algebricamente esta desigualdade da seguinte maneira:

2 * sqrt(a b) <= a + b => (2 sqrt(a b))^2 <= (a + b)^2 => 4 a b <= a^2 + 2 a b + b^2

a^2 + 2 a b + b^2 - 4 a b >= 0 => a^2 - 2 a b + b^2 >= 0

Agora, poderíamos observar que temos o seguinte trinômio quadrado perfeito:

(a - b)^2 >= 0

E, sabendo que todo número real que é elevado a zero é positivo, concluiríamos que a demonstração estaria concluída (da mesma forma que entramos pra dentro desta maravilhosa questão). No entanto, ela está errada porque não podemos começar a dedução a partir da conclusão. Mas para nossa sorte, podemos observar os passos que foram dados e fazer o caminho contrário. Sendo assim, acompanhe no próximo passo a maneira certa de se proceder.

Passo 3

Para demonstrarmos a segunda desigualdade, vamos começar com o fato de que todo número elevado ao quadrado é positivo. Vamos expressar este número como a diferença de dois reais quaisquer, a e b :

(a - b)^2 >= 0

O caso da igualdade seria para a situação trivial a = b . Assim, vamos desenvolver esta desigualdade:

a^2 - 2 a b + b^2 >= 0

Além disso, vamos somar 4 a b aos dois membros da igualdade:

a^2 - 2 a b + b^2 + 4 a b >= 4 a b

Neste ponto, cabe uma observação absurdamente pertinente. Em nenhum momento da nossa demonstração, dissemos os sinais de a e b . Mas isso tem diferença, você pode estar se perguntado, talvez. TÊM, E MUITA! Se escolhermos dois números de tal forma que um seja positivo e o outro negativo, vamos ter o fator 4 a b como sendo um número negativo e a desigualdade mudará de sentido e não vamos obter o resultado desejado. Por isso é importante que esses detalhes sejam expostos na dedução. Por isso deixamos passar. Na próxima demonstração ela será levada em conta.

Continuando:

a^2 + 2 a b + b^2 >= 4 a b => (a + b)^2 >= 4 a b

Retirando a raiz quadrada de ambos os membros, vamos obter

a + b >= 2 sqrt(a b)

:. (a + b)/(2) >= sqrt(a b)

c.q.d (Como Queríamos Demonstrar)

Passo 4

A segunda demonstração vai envolver a primeira desigualdade. Sendo assim, vamos considerar dois números reais positivos a e b . Assim

(a - b)^2 >= 0 => a^2 - 2 a b + b^2 >= 0

Além disso, vamos multiplicar essa desigualdade por a b . Como ambos são positivos, o sinal da desigualdade permanecerá inalterado:

a b [a^2 - 2 a b + b^2] >= 0 => a^3 b - 2 a^2 b^2 + a b^3 >= 0

Agora vamos somar 4 a^2 b^2 aos dois lados da desigualdade:

a^3 b - 2 a^2 b^2 + a b^3 + 4 a^2 b^2 >= 0 + 4 a^2 b^2 => a^3 b + a b^3 + 2 a^2 b^2 >= 4 a^2 b^2

Vamos agora fatorar o termo a b do primeiro membro:

a b [a^2 + b^2 + 2 a b] >= 4 a^2 b^2 => a b (a + b)^2 >= 4 a^2 b^2

Vamos passar o termo (a + b)^2 para o segundo membro dividindo-o:

a b >= (4 a^2 b^2)/((a + b)^2)

Tirando a raiz quadrada, vamos obter

sqrt(a b) >= (2 a b)/(a + b)

c.q.d

Vamos discutir um pouco sobre a resolução desta questão. Demonstrações matemáticas são marginalizadas no Ensino Médio e no ciclo básico das ciências exatas na faculdade. Na maioria das vezes você aprenderá por livros e boa parte possui aberrações como a que foi citada aqui no Passo 3 (Começar a demonstração pelo que se deseja concluir). Por isso houve um exagero no “português” ao invés de sermos sucintos com o “matematiquês”. Mas acredito que você possa perceber a importância de uma demonstração e que ela deve seguir certos passos para ser considerada válida. Além disso, nem todo caminho que aparentemente conduz a um resultado verdadeiro pode ser considerado uma demonstração.

#FicaADica

Resposta

A demonstração.