Mostre que
Passo 1
Show de bola, galera! Aqui temos um clássico problema de demonstração. Ele poderia ser enunciado da seguinte maneira: Mostre que a média aritmética é maior que a geométrica. Além disso, mostre que a média geométrica é maior que a relação dada na primeira desigualdade. Sendo assim, vamos seguir os passos indicados.
Passo 2
Antes, um pequeno adendo sobre demonstrações: Para demonstrar algo, partimos de uma coisa que conhecemos e tentamos chegar ao resultado proposto em um enunciado. Um erro muito comum é usar a conclusão, ou seja, o resultado fornecido no enunciado como ponto de partida. Isso é tosco. O professor te marca de um jeito que você só consegue passar se pedir transferência de faculdade e se ainda tiver a sorte dele não ensinar na outra. Vai por mim.
O que eu quero dizer é o seguinte: O mais óbvio seria usar um dos resultados, digamos
e manipularmos algebricamente esta desigualdade da seguinte maneira:
Agora, poderíamos observar que temos o seguinte trinômio quadrado perfeito:
E, sabendo que todo número real que é elevado a zero é positivo, concluiríamos que a demonstração estaria concluída (da mesma forma que entramos pra dentro desta maravilhosa questão). No entanto, ela está errada porque não podemos começar a dedução a partir da conclusão. Mas para nossa sorte, podemos observar os passos que foram dados e fazer o caminho contrário. Sendo assim, acompanhe no próximo passo a maneira certa de se proceder.
Passo 3
Para demonstrarmos a segunda desigualdade, vamos começar com o fato de que todo número elevado ao quadrado é positivo. Vamos expressar este número como a diferença de dois reais quaisquer, e :
O caso da igualdade seria para a situação trivial . Assim, vamos desenvolver esta desigualdade:
Além disso, vamos somar aos dois membros da igualdade:
Neste ponto, cabe uma observação absurdamente pertinente. Em nenhum momento da nossa demonstração, dissemos os sinais de e . Mas isso tem diferença, você pode estar se perguntado, talvez. TÊM, E MUITA! Se escolhermos dois números de tal forma que um seja positivo e o outro negativo, vamos ter o fator como sendo um número negativo e a desigualdade mudará de sentido e não vamos obter o resultado desejado. Por isso é importante que esses detalhes sejam expostos na dedução. Por isso deixamos passar. Na próxima demonstração ela será levada em conta.
Continuando:
Retirando a raiz quadrada de ambos os membros, vamos obter
c.q.d (Como Queríamos Demonstrar)
Passo 4
A segunda demonstração vai envolver a primeira desigualdade. Sendo assim, vamos considerar dois números reais positivos e . Assim
Além disso, vamos multiplicar essa desigualdade por . Como ambos são positivos, o sinal da desigualdade permanecerá inalterado:
Agora vamos somar aos dois lados da desigualdade:
Vamos agora fatorar o termo do primeiro membro:
Vamos passar o termo para o segundo membro dividindo-o:
Tirando a raiz quadrada, vamos obter
c.q.d
Vamos discutir um pouco sobre a resolução desta questão. Demonstrações matemáticas são marginalizadas no Ensino Médio e no ciclo básico das ciências exatas na faculdade. Na maioria das vezes você aprenderá por livros e boa parte possui aberrações como a que foi citada aqui no Passo 3 (Começar a demonstração pelo que se deseja concluir). Por isso houve um exagero no “português” ao invés de sermos sucintos com o “matematiquês”. Mas acredito que você possa perceber a importância de uma demonstração e que ela deve seguir certos passos para ser considerada válida. Além disso, nem todo caminho que aparentemente conduz a um resultado verdadeiro pode ser considerado uma demonstração.
#FicaADica
Resposta
A demonstração.