Mostre que w = |v| + |u| + |u| + |v| bissecta o ângulo entre u → e v → .

Passo 1

E aí, galera! Tudo beleza? Então, vem comigo!

Bom, primeiramente, temos que entender que dizer que vec w = | vec v | vec u + | vec u | vec v bissecta o ângulo entre vec u e vec v é o mesmo que dizer que o ângulo entre vec u e vec w é metade do ângulo entre vec u e vec v . Ou seja, o vetor vec w divide o ângulo entre os vetores vec u e vec v ao meio. Sacou?

Bom, vamos supor que vec u e vec v formam um ângulo theta entre si e vec u e vec w formam um ângulo beta . Assim, temos

c o s theta = (vec v * vec u)/(| vec v | vec | u |)

c o s beta = (vec w * vec u)/(| vec w | vec | u |)

Passo 2

Continuando a nossa resolução, vamos substituir vec w = | vec v | vec u + | vec u | vec v em c o s beta = (vec w * vec u)/(| vec w | vec | u |) . Para isso, precisamos calcular

vec w * vec u = (| vec v | vec u + | vec u | vec v) * vec u = | vec v | ( vec u * vec u ) + | vec u | ( vec v * vec u )

Mas ( vec u * vec u ) = | vec u |^2 e vec v * vec u = | vec v | | vec u | c o s theta . Assim,

vec w * vec u = | vec v | | vec u |^2 + | vec u | ( | vec v | | vec u | c o s theta ) = | vec v | | vec u |^2 ( 1 + c o s theta )

Além disso, temos

| vec w |^2 = vec w * vec w = ( | vec v | vec u + | vec u | vec v ) * ( | vec v | vec u + | vec u | vec v )

| vec w |^2 = | vec v |^2 vec u * vec u + | vec u |^2 vec v * vec v + 2 | vec v | | vec u | vec v * vec u

| vec w |^2 = 2 | vec v |^2 | vec u |^2 + 2 | vec v |^2 | vec u |^2 c o s theta = 2 | vec v |^2 | vec u |^2 ( 1 + c o s theta )

| vec w |^2 = 4 | vec v |^2 | vec u |^2 c o s^2 (theta)/(2) => | vec w |^() = 2 | vec v |^() | vec u |^() c o s^() (theta)/(2)

onde usamos 1 + c o s theta = 2 c o s^2 (theta)/(2) .

Passo 3

Usando os resultados do passo anterior, a gente fica com

c o s beta = (vec w * vec u)/(| vec w | vec | u |) = (| vec v | | vec u |^2 ( 1 + c o s theta ))/(2 | vec v |^() | vec u |^2 c o s^() (theta)/(2)) = (1 + c o s theta)/(2 c o s^() (theta)/(2))

Lembrando que 1 + c o s theta = 2 c o s^2 (theta)/(2) , então

c o s beta = (2 c o s^2 (theta)/(2))/(2 c o s^() (theta)/(2)) = c o s^() (theta)/(2) => beta = (theta)/(2)

Isso quer dizer que o ângulo entre vec u e vec w é metade do ângulo entre vec u e vec v . Se a gente calcular o ângulo entre vec v e vec w vamos chegar exatamente à mesma conclusão. Logo, vec w = | vec v | vec u + | vec u | vec v bissecta o ângulo entre vec u e vec v .

Prontinho, mais uma questão resolvida. Nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.