Mostre que a área A sob o gráfico de f(x) = x^(-1) , acima de [1, 8] . Satisfaz.

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ≤ A ≤ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para desenvolvermos essa questão, podemos usar as equações abaixo:

R N = ∆ x ∑ j = 1 N f ( a + j ∆ x )

L N = ∆ x ∑ j = 0 N - 1 f ( a + j ∆ x )

Depois vamos concluir nosso raciocínio!!!

Passo 2

A função do enunciado é f x = x - 2 .

No enunciado, pela definição dos limites da área podemos concluir que N = 7 .

E nos diz que o período é de [ 1   8 ] , então a = 1 e b = 8 .

Para calcular o ∆ x , usamos a seguinte fórmula:

∆ x = b - a N

∆ x = 7 7

∆ x = 1

Construindo a tabela para os valores de f ( x ) , encontramos:

Agora podemos calcular R 7 e L 7 .

R 7 = 1 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 7 + 1 8

R 7 = 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 7 + 1 8

L 7 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 7

L 7 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 7

Como, neste caso, o f ( x ) diminui conforme x aumenta. Podemos concluir que a área é maior que R 7 e menor que L 7 . Então:

1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ≤ A ≤ 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7

Resposta

R 7 = 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 7 + 1 8

L 7 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 7