Mostre que, para as autofunções da equação

y'' + λy = 0

y(0) = 0, y(1) + y'(1) = 0

|| sen(raiz(λ_n * x))^2 = 1/2 [1 + cos^2(raiz(λ_n))]

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para mostrar o autovalor,

y^(' ') + lambda y = 0

y (0) = 0 , y (1) + y^' (1) = 0 , para

| | sin sqrt(lambda_n x) | (​|^2 = (1)/(2) [ 1 + cos^2 sqrt(lambda_n) ]

Passo 2

Sabendo que,

y^(' ') + lambda y = 0

y (0) = 0 , y (1) + y^' (1) = 0 ,

| | sin sqrt(lambda_n x) | (​|^2 = (1)/(2) [ 1 + cos^2 sqrt(lambda_n) ]

Vamos ter que - lambda < 0 sendo imaginária a equação,

y (t) = c_1 . e^(alpha t) cos (beta t) + c_2 . e^(alpha t) sin ( beta t )

Para y (0) = 0

c_1 = 0

Para y (L) = 0

y (L) = c_2 sin ( lambda L )

(1)/(2) [ 1 + cos^2 sqrt(lambda_n) ]

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

(1)/(2) [ 1 + cos^2 sqrt(lambda_n) ]