Mostre que (para a > 0 ) o comprimento de arco de astróide x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) é proporcional a a .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado o astróide x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 . Queremos mostrar que o comprimento do arco do astróide é proporcional para a a > 0 . Para isso, vamos calcular o comprimento do arco da parte do astróide no primeiro quadrante e depois multiplique por 4. Lembre-se de que o comprimento do arco de uma função f ( x ) no intervalo é [ a , b ]

s = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Nós podemos reescrever a função do astróide como uma função de x

y 2 / 3 = a 2 / 3 - x 2 3 → y = a 2 3 - x 2 3 3 / 2

Portanto, a derivada para esse caso, nós temos que

y ' = a 2 3 - x 2 3 3 2 ' = 3 2 ∙ a 2 3 - x 2 3 3 2 - 1 ∙ a 2 3 - x 2 3 '

Fazendo alguns cálculos, chegamos ao seguinte resultado

y ' = - a 2 3 - x 2 3 1 / 2 x 1 / 3

Passo 2

Substituindo esta derivada na expressão do comprimento do arco, obtemos:

s = 4 ∙ ∫ 0 a 1 + - a 2 3 - x 2 3 1 2 x 1 3 2   d x

Desenvolvendo os termos,

s = 4 ∙ ∫ 0 a 1 + a 2 / 3 - x 2 / 3 x 2 / 3   d x

Um pouco mais...

s = 4 ∙ ∫ 0 a a 1 3 x 1 3   d x = 4 ∙ a 1 3 ∙ ∫ 0 a x - 1 3   d x

Esta integral tem como resultado

s = 4 ∙ a 1 3 ∙ x - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 0 a = 4 ∙ a 1 3 ∙ a 2 3 2 3 = 6 ∙ a 1 3 ∙ a 2 3

Finalmente, temos o seguinte resultado

s = 6 ∙ a 1 3 + 2 3 = 6 a

Como o comprimento do arco do astróide é 6 a , então mostra-se que é proporcional a a .

Resposta

É proporcional a a .