Mostre que (para ) o comprimento de arco de astróide é proporcional a .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Dado o astróide . Queremos mostrar que o comprimento do arco do astróide é proporcional para a . Para isso, vamos calcular o comprimento do arco da parte do astróide no primeiro quadrante e depois multiplique por 4. Lembre-se de que o comprimento do arco de uma função no intervalo é
Nós podemos reescrever a função do astróide como uma função de
Portanto, a derivada para esse caso, nós temos que
Fazendo alguns cálculos, chegamos ao seguinte resultado
Passo 2
Substituindo esta derivada na expressão do comprimento do arco, obtemos:
Desenvolvendo os termos,
Um pouco mais...
Esta integral tem como resultado
Finalmente, temos o seguinte resultado
Como o comprimento do arco do astróide é , então mostra-se que é proporcional a .
Resposta
É proporcional a .