Mostre que ϕ(x) = c1 * sen(x) + c2 * cos(x) é uma solução para a d^2y / d^2x + y = 0 para qualquer escolha de c₁ e c2 . Assim, c₁ * sen x + c₂ * cos x é uma família de soluções em dois parâmetros para a equação diferencial.

Passo 1

Falaaa, belezaa??? Este exercício parece ser complicado, mas na verdade não é!! O que precisamos é derivar a solução duas vezes e aplicar na função. Caso as funções se cancelem, com a gente considerando as constantes, elas serão soluções para qualquer valor de constante.

Passo 2

A função que supostamente é solução, é a seguinte:

y = c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x

y ' = c 1 cos ⁡ x - c 2 s e n   x

y ' ' = - c 1 s e n   x - c 2 cos ⁡ x

Substituindo na EDO do enunciado.

d 2 y d x 2 + y = 0

- c 1 s e n   x - c 2 cos ⁡ x + c 1 s e n   x + c 2 cos ⁡ x = 0

0 = 0

As funções zeram a EDO, mesmo com as constantes, então, não importa qual sejam os valores delas função sempre será solução.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.