Mostre que ϕ(x) = c₁ * sen(x) + c₂ * cos(x) é uma solução para a d²y / dx² + y = 0 para qualquer escolha de c₁ e c₂ . Assim, c₁sen(x) + c₂cos(x) é uma família de soluções em dois parâmetros para a equação diferencial.

Passo 1

Falaaa, belezaa??? Para a verificação, basta derivarmos a função que supostamente é solução e aplicar na EDO. Se a equação zerar, então a função é solução.

Passo 2

A função que supostamente é solução, é a seguinte:

ϕ ( x ) = 2 1 - c e x

Usando a regra do quociente para derivar, encontramos:

ϕ ' ( x ) = 2 c e x 1 - c e x 2

Substituindo na EDO do enunciado.

d y d x = y y - 2 2

2 c e x 1 - c e x 2 = 1 2 2 1 - c e x 2 1 - c e x - 2

2 c e x 1 - c e x 2 = 2 1 - c e x 2 - 2 1 - c e x

2 c e x = 2 - 2 ( 1 - c e x )

0 = 0

A função zerou a EDO do enunciado, então ela é solução.

O gráfico da solução para cada valor de constante pedido:

Resposta

Resolução nos passos anteriores.