Mostre que, se F_ext(x, t) = 0 , m = 1 , k = 9 e b = 6 , então a Equação (3) tem as soluções “criticamente amortecidas” y₁(t) = e^(-3t) e y₂(t) = t * e^(-3t) . Qual é o limite dessas soluções quando t → infinito ?

Passo 1

Opaaa, como vai?? Espero que esteja bem!!!

Neste capítulo, está sendo tratado sobre o sistema massa-mola. Porém, vamos resolver as equações diferenciais do sistema. A equação base é a seguinte.

m y ' ' + b y ' + k y =   F e x t t

Onde, F e x t t = 0 , m = 1 , k = 9 e b = 6 .

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 0

Pronto!! Agora temos que achar a solução da EDO.

Passo 2

Para uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes, nós supomos uma solução com a seguinte forma e r t .

Substituindo a solução.

e r t ' ' + 6 e r t ' + 9 e r t = 0

e r t r 2 + 6 r + 9 = 0

Para acharmos a solução, usamos a famosa fórmula de Bhaskara.

r 12 = - 6 ± 36 - 36 2

r 12 = - 3

Então, aqui temos uma raiz com multiplicidade. E para uma única raiz real a solução tem a seguinte forma.

y = c 1 e r 12 t + c 2 t e r 12 t

Portanto, a solução para a EDO é:

y = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t

Quando t tender ao infinito, a solução irá tender a zero. Pois, o expoente negativo torna a base um número cada vez menor.

lim t → ∞ ⁡ e - 3 t = 0

lim t → ∞ ⁡ t e - 3 t = 0

Resposta

y = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t

lim t → ∞ ⁡ e - 3 t = 0

lim t → ∞ ⁡ t e - 3 t = 0