a) mostre que a equação

a^2 * (d^2 u) / (d x^2) = (d^2 u) / (d t^2)

Pode ser postada na forma (d^2 u) / (dƞ d£) = 0 mediante a substituição £ = x + at, ƞ = x - at.

b) mostre que

u = F(x + at) + G(x - at)

é uma solução, com F e G funções arbitrárias, duas vezes diferenciáveis

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede os seguintes dados,

a) mostre que a equação

a 2 d 2 u d x 2 = d 2 u d t 2

Pode ser postada na forma d 2 u d ƞ d £ = 0   mediante a substituição £ = x + a t ,   ƞ = x - a t .

b) mostre que

u = F x + a t + G ( x - a t )

é uma solução, com F e G funções arbitrárias, duas vezes diferenciáveis

Passo 2

Na letra (a) sendo

a 2 d 2 u d x 2 = d 2 u d t 2

Podemos mostrar que ela pode ser mostrada como, d 2 u d ƞ d £ = 0 mediante a substituição £ = x + a t ,   ƞ = x - a t , vamos ter que

a 2 d 2 u d x 2 - d 2 u d t 2 = 0

A = a 2

C = - 1

B 2 - 4 A C = 0

0 2 - 4 a 2 - 1 = 0

4 a 2 = 0

Para d 2 u 2 d ƞ d £ ,   £ = x + a t ,   ƞ = x - a t

d 2 u 2 d ƞ d £ = 0

Passo 3

Na letra (b) sendo,

u = F x + a t + G ( x - a t )

Para mostrarmos que ela é uma solução da equação com F e G arbitrária e duas vezes deriváveis temos que,

F ' x + a t = a

G ' x - a t = - a

F x + a t + G x - a t = 0

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

a )   d 2 u 2 d ƞ d £ = 0

b) F x + a t + G x - a t = 0