Mostre que 1 3 [ 2 x 1 + x 2 ] + 1 3 [ 2 y 1 + y 2 ] é um dos pontos da trisseção do segmento de reta que une ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) . Em seguida, determine o segundo ponto da trisseção pela determinação do ponto médio do segmento que une 1 3 [ 2 x 1 + x 2 ] + 1 3 [ 2 y 1 + y 2 ] e ( x 2 , y 2 ) .

Passo 1

Essa parece difícil, mas vamos por partes. Primeiramente, precisamos fazer um gráfico do segmento de reta que liga os pontos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) .

No gráfico percebemos que os dois pontos de trisseção P 1 e P 2 são obtidos após dividirmos os intervalos Δ x e Δ y em três partes iguais. Ou seja,

Δ x 3   =   x 2   -   x 1 3 e Δ y 3   =   y 2   -   y 1 3

Então, ao fazermos o passo anterior, descobrimos o tamanho da terceira parte que divide a respectiva coordenada desse segmento de reta igualmente. Por isso, para descobrirmos o ponto P 1

de interseção, basta adicionar os pontos iniciais de cada coordenada. Assim,

P 1   =   ( Δ x 3   +   x 1 ,   Δ y 3   +   y 1 )   =   (   3 x 1   +   x 2   - x 1 3 , 3 y 1   +   y 2   - y 1 3 )   =   ( 1 3 [ 2 x 1 + x 2 ] , 1 3 [ 2 y 1 + y 2 ] )   .

Ficou na dúvida? Repare que nas questões anteriores obtivemos os pontos médios da seguinte forma: ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) . Porém, seria a mesma coisa que dividir ambos os intervalos por 2, para sabermos o ponto médio, Δ x 2 e Δ y 2 . Ou seja, só fizemos obter o ponto médio pelo módulo da distância em cada coordenada. Agora, basta só localizar esse ponto no segmento de reta que possui os pontos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) . E como fazemos isso? Simples : P =   ( Δ x 2   +   x 1 ,   Δ y 2   +   y 1 )   =   (   2 x 1   +   x 2   - x 1 2 , 2 y 1   +   y 2   - y 1 2 )   =   ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )   .

Sacaram? Então esse processo se repete para quantas divisões quisermos no segmento de reta.

Passo 2

Sabemos que o ponto médio é dado por ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) em um segmento de reta que liga os pontos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) . Então, substituindo os valores pelo segmento que une 1 3 [ 2 x 1 + x 2 ] + 1 3 [ 2 y 1 + y 2 ] e ( x 2 , y 2 ) , termos o seguinte:

P 2   =   (   1 3 [ 2 x 1 + x 2 ]   +   x 2 2   ,   1 3 [ 2 y 1 + y 2 ]   +   y 2 2 )   =   ( 2 3 x 1 + 4 3 x 2 2 , 2 3 y 1 + 4 3 y 2 2 )   =   ( 1 6 [ 2 x 1 + 4 x 2 ] , 1 6 [ 2 y 1 + 4 y 2 ]   )

⇒ P 2   =   ( 1 3 [ x 1 + 2 x 2 ] , 1 3 [ y 1 + 2 y 2 ]   )

Resposta

Ver demonstração acima e   ( 1 3 [ x 1 + 2 x 2 ] , 1 3 [ y 1 + 2 y 2 ]   ) .