Mostre que | v → | + | u → | ≤ | | u → | + | | v → | para quaisquer vetores u → e v → .

Passo 1

E aí, pessoal! Vem comigo para mais uma questão que vai ser sucesso!

Para resolver essa questão, precisamos calcular

| vec v + vec u |^2 = (vec v + vec u) * (vec v + vec u) = | vec v |^2 + | vec u |^2 + 2 vec u * vec v

(| vec u | + | vec v |)^2 = | vec u |^2 + 2 | vec u | | vec v | + | vec v |^2

Passo 2

Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos

| vec u * vec v | <= | vec u | | vec v |

Vamos brincar um pouco com essa desigualdade:

| vec u * vec v | <= | vec u | | vec v | => 2 | vec u * vec v | <= 2 | vec u | | vec v |

=> | vec v |^2 + | vec u |^2 + 2 | vec u * vec v | <= | vec v |^2 + | vec u |^2 + 2 | vec u | | vec v |

Mas espera, acho que já vi essas equações em algum lugar. Sim, eles são quase | vec v + vec u |^2 e (| vec u | + | vec v |)^2 . Antes, temos que notar que

vec u * vec v = | vec u * vec v | c o s theta <= | vec u * vec v |

Passo 3

Então

| vec v |^2 + | vec u |^2 + 2 vec u * vec v <= | vec v |^2 + | vec u |^2 + 2 | vec u * vec v | <= | vec v |^2 + | vec u |^2 + 2 | vec u | | vec v |

e

| vec v + vec u |^2 <= (| vec u | + | vec v |)^2 => | vec v + vec u | <= | vec u | + | vec v |

Demonstração com sucesso. Eu vou ficando por aqui, nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.