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Mostre que para x = 1 a série converge abaixo converge:

sum_(n = 1)^(+ oo) (- 1)^n (1.3 . 5 ... ( 2 n - 1 ))/(2.4 . 6 ... 2 n) x^n

Passo 1

Então galerinha, para ver se esta série é convergente nós podemos usar o critério de Raabe:

L = underset(n -> oo)(lim) n (1 - (a_n + 1)/(a_n))

Analisando o termo:

(a_n + 1)/(a_n) = (1.3 . 5 ... ( 2 ( n + 1 ) - 1 ))/(2.4 . 6 ... 2 ( n + 1 )) xx (2.4 . 6 ... 2 n)/(1.3 . 5 ... ( 2 n - 1 ))

(a_n + 1)/(a_n) = (2 n + 1)/(2 n + 2)

Substituindo no limite:

L = underset(n -> oo)(lim) n (1 - (2 n + 1)/(2 n + 2)) = underset(n -> oo)(lim) n ((1)/(2 n + 2)) = underset(n -> oo)(lim) ((n)/(2 n + 2))

Dividindo por n:

L = underset(n -> oo)(lim) ((1)/(2 + (2)/(n))) = (1)/(2)

Portanto a série é convergente, inclusive para o valor de x = 1 .

Uma coisa bem legal é vocês fazerem o teste aí, usando o Excel e comprovando o que estamos vendo aqui !!

Bora seguir?

Resposta

C o n v e r g e ‼

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