Mostre que as séries dadas são convergentes. Justifique

∑ n = 3 + ∞ ln ⁡ n n 8 + 3 n + 1 5

Passo 1

Critério da comparação. Sejam as séries ∑ k = 0 + ∞ a k e ∑ k = 0 + ∞ b k . Suponha que exista um um natural p tal que, para todo k ≥ p , 0 ≤ a k ≤ b k . Nesta condições, tem-se:

i ∑ k = 0 + ∞ b k   c o n v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   c o n v e r g e n t e

( i i )   ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e

Passo 2

Não será fácil. Mas segue o raciocínio. Primeiro tome que

n 8 + 3 n + 1 > n 8

Para todo n > 3 . Assim temos que

∑ n = 3 + ∞ ln ⁡ n n 8 + 3 n + 1 5 < ∑ n = 3 + ∞ ln ⁡ n n 8 5

Bom, mas ainda não ta legal.

Vamos fazer. Suponha que podemos escrever que ln ⁡ n < n b . E assim tendo que

∑ n = 3 + ∞ ln ⁡ n n 8 5 < ∑ n = 3 + ∞ n b n 8 5 = ∑ n = 3 + ∞ n b - 8 5 = ∑ n = 3 + ∞ 1 n 8 5 - b ∑ n = 3 + ∞ 1 n p

Na qual queremos transformar nosso problema em uma série p-série. Lembre que, p-série quando p > 1 é convergente, e quando p ≤ 1 nossa série é divergente. Ou seja, queremos que

8 5 - b > 1 → b < 8 5 - 1 = 3 5

Assim, uma das condições é que o nosso b < 3 / 5 para transformar nossa série em uma p-série.

Mas a pergunta é, que b escolher?Vamos escolher b = 2 / 5 e verificar se

ln ⁡ x < x 2 / 5

Passo 3

Tome que ambas as funções são crescentes.

Quando fazendo o limte tendendo a 3

lim x → 3 ⁡ ln ⁡ x x 2 5 = ln ⁡ 3 9 5 ≈ 0.7 < 1

Assim temos que próximo aos valores iniciais, ln ⁡ x < x 2 / 5 . Agora quando tendemos ao inifito

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 2 5 = + ∞ + ∞

Devemos aplicar L’Hopital, temos

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 2 5 = lim x → + ∞ ⁡ 1 / x 2 5 x 2 5 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 2 5 x 2 5 = 0

Ou seja, a tendência é que x 2 / 5 fique cada vez maior que ln ⁡ x . Assim ficamos feliz, pois com b = 2 / 5 . Conseguimos provar que nossa série original é convergente.

∑ n = 3 + ∞ ln ⁡ n n 8 + 3 n + 1 5 < ∑ n = 3 + ∞ ln ⁡ n n 8 5 < ∑ n = 3 + ∞ n 2 / 5 n 8 5 = ∑ n = 3 + ∞ 1 n 6 / 5   c o n v e r g e n t e

Resposta

convergente

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