Mostre que as séries dadas são convergentes. Justifique
Passo 1
Critério da comparação. Sejam as séries e . Suponha que exista um um natural tal que, para todo , . Nesta condições, tem-se:
Passo 2
Não será fácil. Mas segue o raciocínio. Primeiro tome que
Para todo . Assim temos que
Bom, mas ainda não ta legal.
Vamos fazer. Suponha que podemos escrever que . E assim tendo que
Na qual queremos transformar nosso problema em uma série p-série. Lembre que, p-série quando é convergente, e quando nossa série é divergente. Ou seja, queremos que
Assim, uma das condições é que o nosso para transformar nossa série em uma p-série.
Mas a pergunta é, que escolher?Vamos escolher e verificar se
Passo 3
Tome que ambas as funções são crescentes.
Quando fazendo o limte tendendo a 3
Assim temos que próximo aos valores iniciais, . Agora quando tendemos ao inifito
Devemos aplicar L’Hopital, temos
Ou seja, a tendência é que fique cada vez maior que . Assim ficamos feliz, pois com . Conseguimos provar que nossa série original é convergente.
Resposta
convergente