1.

(b) Mostre que (xy)^3 - (xy)^3 senx = 1 é uma solução implícita para dy/dx = (x*cos(x) + sen(x) - 1) * y / (3 * (x - x*sen(x))) no intervalo (0, pi/2).

Passo 1

Primeiro vamos fazer o produto em y: y 3 x - x s e n x = 1   → y 3 = 1 x 1 - s e n x   → y = 1 x 1 - s e n x 3 = x ( 1 - s e n x ) - 1 / 3

Assim o domínio da função é x ≠ 0 e s e n   x ≠ 1   → x ≠ π 2 + 2 k π , k = 0 , ± 1 , ± 2

Passo 2

Para 0 < x < π 2 temos:

d y d x = d d x x ( 1 - s e n x ) - 1 / 3 = - 1 3   x 1 - s e n x - 1 / 3   - 1 d d x x ( 1 - s e n x )  

= - 1 3 x 1 - s e n x - 1 x 1 - s e n x - 1 3 1 - s e n x + x - c o s x

= x c o s x + s e n x - 1 y 3 x 1 - s e n x

Resposta

Perceba que a relação dada é uma solução implícita em qualquer intervalo que não tenha pontos x = 0 , π 2 + 2 k π , k = 0 , ± 1 , ± 2 …