1. Mostre que ϕ ( x )   =   x ² é uma solução explícita para
  2. x d y d x   =   2 y

    no intervalo ( - ∞ , ∞ )

  3. Mostre que ϕ ( x )   = e x - x ² é uma solução explícita para
  4. d y d x + y ²   =   e 2 x + ( 1 - 2 x ) e x + x ² - 1

    no intervalo ( - ∞ , ∞ )

  5. Mostre que ϕ ( x )   = e x - x ⁻ ¹ é uma solução explícita para para x²dy²y/dx² = 2y no intervalo (0, ∞).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Usando que ϕ′(x)=2x e substituindo ϕ′(x) e ϕ(x) na equação dada temos
  2. xϕ′(x)​=x2x=2x2=2ϕ(x)

    de onde segue que ϕ(x)=x² é a solução explícita da equação dada em (−∞, ∞).

    Passo 2

  3. Usando que ϕ′(x)= e x - 1 e substituindo ϕ′(x) e ϕ(x) na equação dada temos
  4. ϕ ' ( x )   +   ϕ ² ( x )   =   e x - 1 + ( e x - x ) ²

    =   e x - 1 + e 2 x - 2 x e x + x ²

    =   e 2 x + ( 1 - 2 x ) e x + x ² - 1

    de onde segue que ϕ(x) = e x - x é a solução explícita da equação dada em (−∞,∞).​

    Passo 3

  5. d ϕ d x = ϕ ' ( x )   =   2 x   + 1 x ²

d ² ϕ d x ²   =   ϕ ' ' ( x )   =   2 ( 1 - 1 x ³ )

obtemos então

x ² d ² ϕ d x ² =   2 x ² ( 1 - 1 x ³ )

= 2 ( x ² - 1 x )

= 2 ϕ ( x )

de onde segue que ϕ(x) é solução explícita para a equação diferencial dada. Sabemos que ϕ(x) não está definido em x=0, então ϕ(x) é a solução em qualquer intervalo que não contém o ponto x=0, então é uma solução explícita em (0,∞).

Resposta

Resposta nos passos.