1. Mostre que a solução do problema de valor inicial:
  2. (d^2 x) / (d t^2) + ω^2 x = F_0 cos(γ t); x(0) = 0; x'(0) = 0

    É:

    x(t) = F0 / (-γ^2 + ω^2) * (cos(γt) - cos(ωt))

  3. Calcule:

l_i(m_γ→ω) = F_0 / (-γ^2 + ω^2) * (cos(γt) - cos(ωt))

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Sabemos que uma equação diferencial linear, não homogênea de coeficientes constantes e de segunda ordem, admite como solução geral é a soma da solução transiente x h com a solução estacionário x p . Sendo, portanto x t = x p + x h

Passo 2

Para x h ( t ) :

x ' ' + ω 2 x = 0                               ( 0.1 )

Fazendo x = e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 2 = 0                             ( 0.2 )

λ = ± i ω                   ( 0.3 )

Logo:

x h t = c 1 e + i ω t + c 2 e - i ω t                             ( 0.4 )

x h t = c 1 cos ⁡ ω t + i s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i s e n ω t                     ( 0.5 )

x h t = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + c 1 - c 2 i   s e n ω t                     ( 0.6 )

Fazendo a =   c 1 + c 2   e   b = c 1 - c 2 i

x h t = a cos ⁡ ω t + b s e n ω t                     ( 0.7 )

Que é igual a (tomando os valores corretos para a e b):

x h t = - A c o s ω t                                   ( 0.8 )

Já para x p ( t ) :

x ' ' + ω 2 x = F 0 cos ⁡ γ t                     ( 0.9 )

Sabemos que em um espaço vetorial de dimensão 2, existem infinitos vetores linearmente independentes, assim criemos uma função y   participante do mesmo espaço vetorial. Então:

y ' ' + ω 2 y = F 0 s e n γ t                   ( 1.0 )

E somamos (0.9) i vezes (1.0), tornando-se uma função complexa z . Assim:

z ' ' + ω 2 z = F 0 e i γ t                     ( 1.1 )

Façamos z = A e i γ t ; z ' ' = A i γ 2 e i γ t . Logo:

A e i γ t - γ 2 + ω 2 = F 0 e i γ t               ( 1.2 )

A = F 0 - γ 2 + ω 2                           ( 1.3 )

Então, semelhantemente ao caso d x h :

x p t = A c o s γ t                                 ( 1.4 )

Logo:

x t = x h t + x p t = - A c o s ω t + A c o s γ t =

A cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t =

F 0 - γ 2 + ω 2 cos ⁡ γ t   - cos ⁡ ω t                                 ( 1.5 )

Passo 3

B)

Seja:

                                                                                  l i m γ → ω       F 0 - γ 2 + ω 2 cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t                     1.6

Logo: - γ 2 + ω 2 → 0 + . Assim:

                                                                                  l i m γ → ω       F 0 - γ 2 + ω 2 cos ⁡ γ t - cos ⁡ ω t =   f r e q u e n c i a   n a t u r a l

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)