Mostre que:

  1. sum_(k = 0 )^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) = (1)/(4)

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever a série:

(1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) = (1)/(4) [(1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 5)]

Passo 2

Portanto temos aseguinte soma da série:

sum_(k = 0 )^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) = (1)/(4) sum_(k = 0)^(oo) ((1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 5))

Passo 3

Abrindo a soma:

(1)/(4) sum_(k = 0)^(oo) ((1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 5)) = underset(k = 0)(ubrace ( 1 - (1)/(5) )) + underset(k = 1)(ubrace ( (1)/(5) - (1)/(9) )) + underset(k = 2)(ubrace ( (1)/(9) - (1)/(13) )) + underset(k = 3)(ubrace ( (1)/(13) - (1)/(17) )) + ...

È perceptível que:

sum_(k = 0)^(oo) ((1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 5)) = 1

Resposta

Portanto:

sum_(k = 0 )^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5)) = (1)/(4)

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