Mostre que f(x) = 2 * x^3 + 2 * x + sen x + 1 tem precisamente uma raiz real.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Precisamos mostrar que a função definida tem precisamente uma raiz. Assim, deixamos f (x) = 2 x^3 + 2 x + s e n x + 1 . Aqui, avaliamos as seguintes propriedades da função. Calculando para sua primeira derivada, notamos o comportamento da função.

f^' (x) = (d)/(d x) (2 x^3 + 2 x + s e n x + 1)

Com isso, nós temos que

f^' (x) = 6 x^2 + 2 + cos x > 0

Observamos que a função é sempre maior que 0 para todos os valores de x , dado que 6 x^2 + 2 >= 2 >= |cos x| . Assim, concluímos que o gráfico de f ( x ) é sempre crescente para todos os valores de x .

Passo 2

Avaliando os limites da função quando x se aproxima da condição +- oo . Obtemos o seguinte:

underset(z -> +- oo)(lim) ( 2 x^3 + 2 x + s e n x + 1 ) = +- oo

Como sabemos que a função é sempre crescente para todos os valores de x e que da esquerda para a direita do gráfico de f ( x ) , vemos que f ( x ) se aproxima de - oo como aproximações de para - oo e + oo , concluímos, portanto, que f ( x ) tem precisamente uma única raiz.

Resposta

Demonstrado acima!