Mostre que tem precisamente uma raiz real.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Precisamos mostrar que a função definida tem precisamente uma raiz. Assim, deixamos . Aqui, avaliamos as seguintes propriedades da função. Calculando para sua primeira derivada, notamos o comportamento da função.
Com isso, nós temos que
Observamos que a função é sempre maior que para todos os valores de , dado que . Assim, concluímos que o gráfico de é sempre crescente para todos os valores de .
Passo 2
Avaliando os limites da função quando se aproxima da condição . Obtemos o seguinte:
Como sabemos que a função é sempre crescente para todos os valores de e que da esquerda para a direita do gráfico de , vemos que se aproxima de como aproximações de para e , concluímos, portanto, que tem precisamente uma única raiz.
Resposta
Demonstrado acima!