Mostre que o volume do segmento cortado do paraboloide

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = (z / c)

pelo plano z = h é igual à metade da base do segmento multiplicada por sua altura.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e geometria espacial.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre cilindros e superfícies quádricas.

A partir do enunciado calculamos o volume pelo método de fatiamento, tomando fatias paralelas ao plano xy. Para um z fixo temos:

x 2 z a 2 c + y 2 z b 2 c = 1

A área dessa elipse é:

π a z c b z c = π a b z c

E o volume é obtido por:

V = ∫ 0 h π a b z c   d z = π a b z 2 2 c | 0 h = π a b h 2 2 c

Quando z = h sabemos que a área é:

A = π a b h c

E daí, temos que:

V = π a b h 2 2 c = 1 2 π a b h c h = 1 2 á r e a   d a   b a s e a l t u r a

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.