A movimentação de um conjunto de partículas se movendo ao longo do eixo x é controlada pela equação diferencial

d nós/dt = t³ - x³

onde x(t) indica a posição da partícula no instante t.

(a)Se uma partícula estiver localizada em x = 1 quando t =2, qual é sua velocidade nesse instante?

(b) Mostre que a aceleração de uma partícula é dada por

(d²x)/(dx²) = 3t² - 3t³x² + 3x⁵

(c) Se uma partícula está localizada em x = 2 quando t = 2,5, ela poderá alcançar o local x = 1 em qualquer momento posterior? [Dica: t³ − x³ = (t − x)(t² + xt + x²).]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. a .   x ' ( t ) = 2 ³ - 1 ³ = 8 - 1 = 7
  2. A velocidade x′(t) em qualquer ponto pode ser resolvida substituindo a posição x e o tempo t na EDO. Substitua o ponto x(2)=1 na EDO e resolva para x′(t).

    Passo 2

  3. d x d t =   t ³ - x ³
  4. d ² x d x ²   =   d d t t ³ - d d t ( x ( t ) ) ³

    d ² x d x ² = 3 t ² - 3 ( x ( t ) ) ² x ( t ) '

    d ² x d t ²   =   3 t ² - 3 x ² ( t ³ - x ³ )

    d ² x d t ² = 3 t ² - 3 x ² t ² + 3 x ⁵

    Passo 3

  5. Faça o gráfico do campo de direção da velocidade x′(t). Ao representar graficamente o valor inicial de x(2,5)=2, podemos ver mais visivelmente a tendência do campo. Não, a partícula se estabiliza em torno da velocidade de x′(t)=1. Isso implica que a posição da partícula está sempre aumentando e só pode atingir x   =   x 0 uma vez.

Resposta

a) x'(t)=7

b) Diferenciando a equação dada em relação a t, obtemos o resultado desejado.

c) Não, porque a posição da partícula está sempre aumentando.