O movimento vertical de uma massa presa a uma mola é descrito pela PVI 1 / 4 * x'' + x' + x = 0 , x(0) = 4, x'(0) = 2 . Determine o deslocamento vertical máximo

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

x ' ' + 4 x ' + 4 x = 0

Chamemos β = 4 ,     ω 0 2 = 4

x ' ' + β x ' + ω 0 2 x = 0

Passo 2

Façamos x = e λ t ;     x ' = λ e λ t ;       x ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ 2 + β λ + ω 0 2 = 0

λ =   - β 2 ± β 2 2 - ω 0 2

Lembrando que β = ω 0 2 = 4

λ = - 2 ± 2 2 - 4

Façamos λ + = - 2 +   2 2 - 4 ;     λ - = 2 - 2 2 - 4

Passo 3

Logo temos a solução:

x t = c 1 e λ + t + c 2 e λ - t

E λ + = λ - = - 2

x t = c 1 e - 2 t + c 2 e - 2 t

x t = e - 2 t c 1 + c 2

Mas aqui encontramos um problema, pois os dois termos dessa solução devem ser linearmente independentes, para se livrar desse problema adicionamos a variável no segundo termo, ficando assim:

x t = e - 2 t c 1 + c 2 t      

Onde c 1 e c 2 são definidos pelas condições iniciais:

x 0 = 4 = c 1

x ' 0 = 2 = - 2 c 1 + c 2

Logo resolvendo o sistema vemos que: c 1 = 4 ; c 2 = 10

Assim:

x t = e - 2 t ( 4 + 10 t )

Resposta

x t = e - 2 t ( 4 + 10 t )