2 * x^2 + 5 * x - 12 > 0

Passo 1

Fala, galerinhaaa!

Vamos começar achando os valores de x que atendem a essa inequação, beleza?

Mão na massa!

2 x^2 + 5 x - 1 2 > 0

Bem, primeiro vamos resolver como se fosse uma equação do segundo grau, depois nos preocupamos com o > , ok?

2 x^2 + 5 x - 1 2 = 0

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

x = (- 5 +- sqrt(5^2 - (4 * 2 * (- 12))))/(2 * 2)

x = (- 5 +- sqrt(25 + 96))/(4)

x = (- 5 +- sqrt(121))/(4)

x = (- 5 +- 11)/(4)

x = (3)/(2) ou x = - 4

Agora que vem o pulo do gato!

Nossa inequação é: 2 x^2 + 5 x - 1 2 > 0 , ou seja, queremos o intervalo no eixo x onde a nossa função seja MAIOR que ZERO. Vamos traçar um gráfico para visualizar:

Perceba que na área pintada de azul a nossa função assume apenas valores positivos.

Logo, podemos dizer que:

x < - 4 ou x > (3)/(2)

Não colocamos o sinal de = para não incluir os valores nulos da nossa função.

Show!!!

Passo 2

Agora vamos expressar a solução com a notação de intervalos e em seguida vamos representa-la na reta dos reais.

Bem, nossa solução deu que x < - 4 ou x > (3)/(2) , certo?

Então você concorda que nossa restrição é para valores menores que (3)/(2) e para valores maiores que - 4 ?

Concorda também que, como não aparece o sinal de = em ambas as restrições tanto o - 4 quanto o (3)/(2) não se incluem nos valores que podem ser assumidos por x ?

Então beleza!

A nossa expressão em notação de intervalos fica assim:

( - oo , - 4 ) ou ((3)/(2) , + oo)

E podemos escrever desta forma também:

(oo , - 4) uuu ((3)/(2) , + oo)

E a nossa representação na reta dos reais fica:

Agora acabou! ;)

Resposta

x < - 4 ou x > (3)/(2)

x in (- oo , - 4) uuu ((3)/(2) , + oo)