P(x, y) = (-3, -3 raiz(3))

Passo 1

Falaaa, pessoal!

Essa vai ser rapidinha.

Queremos converter a coordenada cartesiana em coordenada polar, com r >= 0 e - pi < theta < pi . Para isso vamos usar a seguinte relação:

P = (x , y) -> (r , theta)

r = +- sqrt(x^2 + y^2)

t g (theta) = (y)/(x) -> theta = a r c t g ((y)/(x))

Então temos,

x = - 3 ; y = - 3 sqrt(3)

Substituindo:

r = +- sqrt((- 3)^2 + (- 3 sqrt(3))^2) = +- sqrt(9 + (9 * 3)) = +- sqrt(9 + 27) = +- sqrt(36) = +- 6

Como queremos r >= 0 , temos:

r = 6

Passo 2

Agora vamos calcular nosso theta .

t g (theta) = (- 3 sqrt(3))/(- 3) = sqrt(3)

Vamos pensar um pouquinho aqui...

Qual ângulo que tem como tangente o valor sqrt(3) ?

t g (60 °) = sqrt(3)

Logo, nosso theta = 60 ° , certo?

Temos um r = 6 . Vamos ver o que acontece com nosso ponto P se construirmos um ângulo de 60 ° :

Que NÃO é o que procuramos!!!

Devemos mexer nesse ângulo de forma que nosso ponto P volte para o terceiro quadrante, certo?

Vamos pensar em outros ângulos, que pertençam ao terceiro quadrante, onde t g (theta) = sqrt(3)

Se dermos uma volta de 180 ° no nosso círculo trigonométrico, partindo do ângulo de 60 ° , no sentindo horário, teremos:

60 ° - 180 ° = - 120 °

Que fica no terceiro quadrante!

Vamos verificar a tangente desse ângulo:

t g (- 120 °) = sqrt(3)

Agora vamos ver como fica nossa coordenada polar no gráfico:

É EXATAMENTE O QUE ESTAMOS PROCURANDO!!!

Agora temos que verificar se nosso ângulo satisfaz a nossa condição - pi < theta <= pi

- 180 ° < - 120 ° <= 180 °

Tudo certo! Podemos usar ele!

Antes de finalizar, vamos transformar nosso ângulo de graus para radianos:

- (120 pi)/(180) = - (2 pi)/(3) r a d i a n o s

Então, nossa coordenada polar fica assim:

(r , theta) = (6 , - (2 pi)/(3))

Bem tranquilo, né?!

Resposta

(r , theta) = (6 , - (2 pi)/(3))