P(x, y) = (-5, 5)

Passo 1

Falaaa, pessoal!

Essa vai ser rapidinha.

Queremos converter a coordenada cartesiana em coordenada polar, com r >= 0 e - pi < theta < pi . Para isso vamos usar a seguinte relação:

P = (x , y) -> (r , theta)

r = +- sqrt(x^2 + y^2)

t g (theta) = (y)/(x) -> theta = a r c t g ((y)/(x))

Então temos,

x = - 5 ; y = 5

Substituindo:

r = +- sqrt((- 5)^2 + 5 ²) = +- sqrt(2 * 5 ²) = +- 5 sqrt(2)

Como queremos r >= 0 , temos:

r = 5 sqrt(2)

Passo 2

Agora vamos calcular nosso theta .

t g (theta) = (5)/(- 5) = - 1

Vamos pensar um pouquinho aqui...

Qual ângulo que tem como tangente o valor - 1 ?

t g (- 45 °) = - 1

Logo, nosso theta = - 45 ° , certo?

Temos um r = 5 sqrt(2) . Vamos ver o que acontece com nosso ponto P se construirmos um ângulo de - 45 ° :

Que NÃO é o que procuramos!!!

Devemos mexer nesse ângulo de forma que nosso ponto P volte para o segundo quadrante, ok?

Vamos pensar em outros ângulos, que pertençam ao segundo quadrante, onde t g (theta) = - 1

Se dermos uma volta de 180 ° no nosso círculo trigonométrico, partindo do ângulo de - 45 ° , no sentindo anti-horário, teremos:

- 45 ° + 180 ° = - 1 35 °

Que fica no segundo quadrante!

Vamos verificar a tangente desse ângulo:

t g (135 °) = - 1

Agora vamos ver como fica nossa coordenada polar no gráfico:

É EXATAMENTE O QUE ESTAMOS PROCURANDO!!!

Agora temos que verificar se nosso ângulo satisfaz a nossa condição - pi < theta <= pi

- 180 ° < 135 ° <= 180 °

Tudo certo! Podemos usar ele!

Antes de finalizar, vamos transformar nosso ângulo de graus para radianos:

(1 35 pi)/(180) = (3 pi)/(4) r a d i a n o s

Então, nossa coordenada polar fica assim:

(r , theta) = (5 sqrt(2) , (3 pi)/(4))

Bem tranquilo, né?!

Resposta

(r , theta) = (5 sqrt(2) , (3 pi)/(4))