P = (r, θ) = (6, 2π / 3)

Passo 1

Falaaa, pessoal!

De início ele nos pede para determinar o ponto P no sistema de coordenadas polares.

Vamos construir um ângulo de (2 pi)/(3) radianos, ou seja, (2 * 180 °)/(3) = 120 ° .

Sabemos que o ponto P está sobre essa reta pontilhada, que faz um ângulo de 120 ° com o semieixo polar, certo? Agora, basta marcarmos 6 unidades, partindo do 0 , acima do eixo.

Fica assim:

Bem tranquilo, né?!

Passo 2

  1. Representar o mesmo ponto para r < 0 e 0 <= theta < 2 pi .
  2. O que ele realmente quer aqui é que a gente descreva EXATAMENTE o nosso ponto P , mas obedecendo essas restrições.

    Vamos aos poucos.

    Temos que nosso r = 6 , mas queremos um r < 0 .

    Se multiplicarmos por - 1 , já iremos satisfazer essa condição, certo?

    Então temos r = - 6 .

    Mas, repare que se fizermos isso, o nosso ponto vai ser “refletido” em cima da reta, assim, olha:

    E não é isso o que queremos, beleza?! Então teremos que mexer no ângulo de forma que ele mantenha nosso ponto lá em cima, como era originalmente.

    É pedido que 0 <= theta < 2 pi , que, isoladamente, já atende nosso requisito, pois:

    0 ° <= 120 ° < 360 °

    Vamos analisar aqui. Se “andarmos” 180 ° no sentido anti-horário (ou seja, pi radianos) com o ponto, ele volta pro nosso lugar original, certo? Vamos fazer isso!

    (2 pi)/(3) + pi = (5 pi)/(3)

    Por fim, nossa nova representação do ponto fica:

    P = (6 , (2 pi)/(3)) = (- 6 , (5 pi)/(3))

    Passo 3

  3. Representar o mesmo ponto para r > 0 e - 2 pi < theta <= 0 .
  4. Essa é beeem similar a anterior.

    Vamos definir um r > 0 , ou seja, r = 6 já nos atende! :)

    Agora queremos um theta que obedeça à - 2 pi < theta <= 0

    Que não é nosso caso, pois nosso ângulo é positivo!

    Massss, se dermos uma volta completa no sentido horário (- 360 ° = - 2 pi) , partindo do nosso ângulo original, vamos ter EXATAMENTE o mesmo ângulo, mas percorrido no sentido negativo, certo?

    Ou seja,

    (2 pi)/(3) - 2 pi = - (4 pi)/(3)

    Logo, nossa representação do ponto fica assim:

    P = (6 , (2 pi)/(3)) = (6 , - (4 pi)/(3))

    Calma que tá acabando...

    Passo 4

  5. Representar o mesmo ponto para r < 0 e - 2 pi < theta <= 0 .

Essa também está no mesmo esquema das anteriores!

Temos que nosso r = 6 , mas queremos um r < 0 .

Se multiplicarmos por - 1 , já iremos satisfazer essa condição, certo?

Então temos r = - 6 .

E aí vem aquela história... nosso ponto não é mais nosso ponto, pois não está no lugar que deveria, hehehehhe...

Vamos arrumar isso daí mexendo no ângulo!

Queremos um ângulo - 2 pi < theta <= 0 , certo?

Vamos fazer o seguinte:

Se andarmos, no sentido horário, 180 ° (ou seja, - pi ), nosso ponto obedece ao requisito e de quebra coincide com nossa localização desejada, certo?

Temos, então:

(2 pi)/(3) - pi = - (pi)/(3)

Nossa resposta final fica assim:

P = (6 , (2 pi)/(3)) = (- 6 , - (pi)/(3))

Agora acabou! :)

Resposta

  1. P = (- 6 , (5 pi)/(3))
  2. P = (6 , - (4 pi)/(3))
  3. P = (- 6 , - (pi)/(3))