P = (r, θ) = (4, (5π)/4)

Passo 1

Falaaa, pessoal!

De início ele nos pede para determinar o ponto P no sistema de coordenadas polares.

Vamos construir um ângulo de (5 pi)/(4) radianos, ou seja, (5 * 180 °)/(4) = 225 ° .

Sabemos que o ponto P está sobre essa reta pontilhada, que faz um ângulo de - 45 ° com o semieixo polar, certo? Agora, basta marcarmos 4 unidades, partindo do 0 , abaixo do eixo.

Fica assim:

Bem tranquilo, né?!

Passo 2

  1. Representar o mesmo ponto para r < 0 e 0 <= theta < 2 pi .
  2. O que ele realmente quer aqui é que a gente descreva EXATAMENTE o nosso ponto P , mas obedecendo essas restrições.

    Vamos aos poucos.

    Temos que nosso r = 4 , mas queremos um r < 0 .

    Se multiplicarmos por - 1 , já iremos satisfazer essa condição, certo?

    Então temos r = - 4 .

    Mas, repare que se fizermos isso, o nosso ponto vai ser “refletido” em cima da reta, assim, olha:

    E não é isso o que queremos, beleza?! Então teremos que mexer no ângulo de forma que ele mantenha nosso ponto lá em baixo, como era originalmente.

    É pedido que 0 <= theta < 2 pi , que, isoladamente, já atende nosso requisito, pois:

    0 ° <= 225 ° < 360 °

    Vamos analisar aqui. Se “andarmos” 180 ° no sentido horário a partir do ponto P (ou seja, - pi radianos) com o ponto, ele volta pro nosso lugar original, certo? Vamos fazer isso!

    (5 pi)/(4) - pi = (pi)/(4)

    Por fim, nossa nova representação do ponto fica:

    P = (4 , (5 pi)/(4)) = (- 4 , (pi)/(4))

    Passo 3

  3. Representar o mesmo ponto para r > 0 e - 2 pi < theta <= 0 .
  4. Essa é beeem similar a anterior.

    Vamos definir um r > 0 , ou seja, r = 4 já nos atende! :)

    Agora queremos um theta que obedeça à - 2 pi < theta <= 0

    Que não é nosso caso, pois nosso ângulo é positivo!

    Massss, se dermos uma volta completa no sentido horário (- 360 ° = - 2 pi) , partindo do nosso ângulo original, vamos ter EXATAMENTE o mesmo ângulo, mas percorrido no sentido negativo, certo?

    Ou seja,

    (5 pi)/(4) - 2 pi = - (3 pi)/(4)

    Logo, nossa representação do ponto fica assim:

    P = (4 , (5 pi)/(4)) = (4 , - (3 pi)/(4))

    Calma que tá acabando...

    Passo 4

  5. Representar o mesmo ponto para r < 0 e - 2 pi < theta <= 0 .

Essa também está no mesmo esquema das anteriores!

Temos que nosso r = 4 , mas queremos um r < 0 .

Se multiplicarmos por - 1 , já iremos satisfazer essa condição, certo?

Então temos r = - 4 .

E aí vem aquela história... nosso ponto não é mais nosso ponto, pois não está no lugar que deveria, hehehehhe...

Vamos arrumar isso daí mexendo no ângulo!

Queremos um ângulo - 2 pi < theta <= 0 , certo?

Vamos fazer o seguinte:

Se andarmos, no sentido horário, 18 0 ° (ou seja, - pi ), nosso ponto obedece ao requisito e de quebra coincide com nossa localização desejada, certo?

Temos, então:

(5 pi)/(4) - pi = (pi)/(4)

Masssss, pera aí! Esse valor de theta não satisfaz nosso requisito - 2 pi < theta <= 0 , pois (pi)/(4) > 0 . A conta não fecha!

O que fazer?

Temos que pensar numa forma de reescrever esse ângulo, beleza?

Vamos pensar em ângulos suplementares:

Temos,

(pi)/(4) = (180 °)/(4) = 45 °

E sabemos que existe um x que satisfaça:

45 ° + x = 180 °

x = 135 °

Então, podemos dizer que, se partirmos de 0 ° , percorrendo no sentido horário (ou seja, - 180 ° - 135 ° = - 315 ° ) chegaremos a um mesmo ângulo para o nosso ponto, que satisfaça os requisitos, pois:

- 360 ° < - 3 1 5 ° <= 0 °

Reescrevendo o - 3 1 5 ° , temos:

- (3 1 5 pi)/(180) = - (7 pi)/(4) r a d

E, finalmente (!!!), temos:

P = (4 , (5 pi)/(4)) = (- 4 , - (7 pi)/(4))

Agora acabou! :)

Resposta

  1. P = (- 4 , (pi)/(4))
  2. P = (4 , - (3 pi)/(4))
  3. P = (- 4 , - (7 pi)/(4))