P(r, θ) = (-2, π/6)

Passo 1

Falaaa, pessoal!

De início ele nos pede para determinar o ponto P no sistema de coordenadas polares.

Vamos construir um ângulo de (pi)/(6) radianos, ou seja, (180 °)/(6) = 30 ° .

Sabemos que o ponto P está sobre essa reta pontilhada, que faz um ângulo de 30 ° com o semieixo polar, certo? Agora, basta marcarmos 2 unidades, partindo do 0 , abaixo do eixo.

Fica assim:

Bem tranquilo, né?!

Passo 2

  1. Representar o mesmo ponto para r < 0 e 0 <= theta < 2 pi .
  2. O que ele realmente quer aqui é que a gente descreva EXATAMENTE o nosso ponto P , mas obedecendo essas restrições.

    Vamos aos poucos.

    Temos que nosso r = - 2 , e queremos um r < 0 . Logo, nosso primeiro requisito já foi atendido!

    Também é pedido que 0 <= theta < 2 pi , que, também, já atende nosso requisito, pois:

    0 ° <= 30 ° < 360 °

    Opa, então nosso ponto já estava na forma solicitada! Que sorte, não é mesmo? :D

    Então, nossa representação do ponto fica:

    P = (- 2 , (pi)/(6))

    Passo 3

  3. Representar o mesmo ponto para r > 0 e - 2 pi < theta <= 0 .
  4. Essa é beeem similar a anterior.

    Vamos definir um r > 0 , ou seja, devemos multiplicar nosso r por ( - 1 ) , logo:

    r = 2

    Mas, repare que se fizermos isso, o nosso ponto vai ser “refletido” em cima da reta, assim, olha:

    E não é isso o que queremos, beleza?! Então teremos que mexer no ângulo de forma que ele mantenha nosso ponto lá em baixo, como era originalmente.

    Agora queremos um theta que obedeça à - 2 pi < theta <= 0

    Que não é nosso caso, pois nosso ângulo é positivo!

    Vamos analisar aqui. Se “andarmos” 180 ° no sentido horário (ou seja, - pi radianos) com o ponto, ele volta pro nosso lugar original, certo? Vamos fazer isso!

    (pi)/(6) - pi = (- 5 pi)/(6)

    Logo, nossa representação do ponto fica assim:

    P = (- 2 , (pi)/(6)) = (2 , - (5 pi)/(6))

    Calma que tá acabando...

    Passo 4

  5. Representar o mesmo ponto para r < 0 e - 2 pi < theta <= 0 .

Essa também está no mesmo esquema das anteriores!

Temos que nosso r = - 2 , e queremos um r < 0 . Perfeito! Já está no formato que procuramos!

Queremos um ângulo - 2 pi < theta <= 0 , certo?

Que não é nosso caso, pois nosso ângulo é positivo!

Massss, se dermos uma volta completa no sentido horário (- 360 ° = - 2 pi) , partindo do nosso ângulo original, vamos ter EXATAMENTE o mesmo ângulo, mas percorrido no sentido negativo, certo?

Ou seja,

(pi)/(6) - 2 pi = - (11 pi)/(6)

Logo, nossa representação do ponto fica assim:

P = (- 2 , (pi)/(6)) = (- 2 , - (11 pi)/(6))

Agora acabou! :)

Resposta

  1. P = (- 2 , (pi)/(6))
  2. P = (2 , - (5 pi)/(6))
  3. P = (- 2 , - (11 pi)/(6))