Se y = x r , com r   um número racional, r = m n , então y n = x m . Admitindo a existência da derivada y ' derivar a fórmula y ' = r x r - 1   usando a derivação implícita e a correspondente fórmula para expoentes inteiros.

Passo 1

Vamos derivar y n = x m   e m   x   lembrando que y é uma função de x (teremos que fazer a regra da cadeia).

Passo 2

y n = x m

n y n - 1 y ' = m x m - 1

Como queremos achar y ' = a l g o vamos isolar ele.

Passo 3

n y n - 1 y ' = m x m - 1

y ' = m x m - 1 n y n - 1

Usaremos que y =     x r

y ' = m x m - 1 n   x r n - 1 = m n   x m - 1   x r n - r

y ' = m n   x m - 1 - r n - r

y ' = m n   x m - 1 - r n + r )

r =   m n   e   s u b s t i t u i r e m o s   e m   " r n "

y ' = m n   ( x m - 1 - m + r ) = m n   ( x r - 1 )  

Exatamente o que queríamos

Resposta

Demonstração